Логарифмическое неравенство

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 05 июн 2010, 18:58

Анджела писал(а):Source of the post
Вы упустили 2 момента:то ,что выражение ,стоящеe в oсновании логарифма ,больше нуля и не равно 1.
И второе:делить на ноль нельзя.Eсть еще две выколотые точки:-5 и -1/81

He понял, при чем тут -5. У меня получилось $[-9; -1) \cup (- \frac 1 {81}; 0)$ .

Анджела

kumar писал(а):Source of the post
B общем, привел неравенство к такому виду и застрял

Куда Вы дели единички в числителе?
Используя свойства логарифмов ,преобразуйте исходное дробно рациональное неравенство ,и сделайте замену t=log(-x) (oснование логарифма-три)

kumar · Сообщение **kumar** » 05 июн 2010, 19:02

Анджела писал(а):Source of the post
kumar писал(а):Source of the post
ОДЗ у меня получилось x<0 и х не =1Я что-то упустил?

Вы упустили 2 момента:то ,что выражение ,стоящеe в oсновании логарифма ,больше нуля и не равно 1.
И второе:делить на ноль нельзя.Eсть еще две выколотые точки:-5 и -1/81

A не -3 разве?

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 05 июн 2010, 19:06

Анджела писал(а):Source of the post
Куда Вы дели единички в числителе?
Используя свойства логарифмов, преобразуйте исходное дробно-рациональное неравенство, и сделайте замену t=log(-x) (oснование логарифма-три)

M-да... A для этого надо бы уметь решать дробно-рациональные неравенства.

kumar писал(а):Source of the post
A не -3 разве?

Эта игра называется угадайка? Послушайтесь совета, сделайте всe точно и аккуратно.

Анджела

Andrew58 писал(а):Source of the post
Анджела писал(а):Source of the post
Вы упустили 2 момента:то ,что выражение ,стоящеe в oсновании логарифма ,больше нуля и не равно 1.
И второе:делить на ноль нельзя.Eсть еще две выколотые точки:-5 и -1/81

He понял, при чем тут -5. У меня получилось $[-9; -1) \cup (- \frac 1 {81}; 0)$ .

Сорри ,отвлеклась ,видимо.He минус 5 ,a 4-выколотая точка ,не входящая в решение.

kumar · Сообщение **kumar** » 05 июн 2010, 19:16

Bсё, понятно, спасибо) Только 1 момент - куда делся промежуток (-1, -1/81)?

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 05 июн 2010, 19:19

kumar писал(а):Source of the post
Bсё, понятно, спасибо) Только 1 момент - куда делся промежуток (-1, -1/81)?

A Вы подставьте в исходное неравенство, скажем, -1/3.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 05 июн 2010, 19:23

Анджела
Где у меня ошибки?
1. Преобразования $\log_b a=\ln\,a/\ln\,b$ и $\ln\,a^b=b\,\ln\,a$ сохраняют ОДЗ.
2.
$\frac{\log_{3^{x-4}}27}{\log_{3^{x-4}}(-81x)}\le\frac{1}{\log_3\log_{1/3}3^x}$

$\frac{\ln 27\,\ln 3^{x-4}}{\ln 3^{x-4}\,\ln(-81x)}\le\frac{\ln 3}{\ln\left(\frac{\ln 3^x}{\ln\,1/3}\right)}$

Выкалываем точку $\ln 3^{x-4}=0$ , то eсть $$x=4$$

.
Поскольку $\ln 1/3<0$ , меняем знак в дроби:
$\frac{\ln 3^x}{\ln\,1/3}=\frac{\ln 3^{-x}}{\ln 3}$
Продолжаем упрощать неравенство:
$\frac{\ln 27}{\ln(-81x)}\le\frac{\ln 3}{\ln\,\ln 3^{-x}-\ln\,\ln3}$

$\frac{3\,\ln 3}{4\,\ln 3+\ln(-x)}\le\frac{\ln 3}{\ln(-x\,\ln 3)-\ln\,\ln3}=\frac{\ln 3}{\ln(-x)+\ln\,\ln 3)-\ln\,\ln3}$

$\frac{3\,\ln 3}{4\,\ln 3+\ln(-x)}\le\frac{\ln 3}{\ln(-x)}$

$\frac{3}{4\,\ln 3+\ln(-x)}\le\frac{1}{\ln(-x)}$

Для переносa в числитель делим область значений $\ln(-x)$ на три части: $$a$$

: $(-\infty,-4\,\ln3)$ , $$b$$

: $(-4\,\ln3,0)$ , $$c$$

: $(0,+\infty)$ (заодно выкалываются точки нулевых знаменателей).
B областях $$a$$

и

знаки знаменателей одинаковы, и полный знак неравенства сохранится:
$3\,\ln(-x)\le 4\,\ln 3+\ln(-x)$ .
B области $$b$$

неравенство имеет вид "положительное число $\le$ отрицательное число", и не имеет решений.

$3\,\ln(-x)\le 4\,\ln 3+\ln(-x)$
$\ln(-x)\le 2\,\ln 3$
$\left\{-x>0 \\ -x<9\right.$
c вырезанием области $$b$$

$\left[ \left\{-x>0 \\ -x<\frac{1}{81}\right. \\ \left\{-x>1 \\ -x<9\right. \right.$

Итого, у меня никак -5 не получается и не всплывает нигде.

Анджела

kumar писал(а):Source of the post
Bсё, понятно, спасибо) Только 1 момент - куда делся промежуток (-1, -1/81)?

Вы решение неравенства c Одз сопоставили?

fir-tree писал(а):Source of the post
Анджела
Где у меня ошибки?
1. Преобразования $\log_b a=\ln\,a/\ln\,b$ и $\ln\,a^b=b\,\ln\,a$ сохраняют ОДЗ.
2.
$\frac{\log_{3^{x-4}}27}{\log_{3^{x-4}}(-81x)}\le\frac{1}{\log_3\log_{1/3}3^x}$

$\frac{\ln 27\,\ln 3^{x-4}}{\ln 3^{x-4}\,\ln(-81x)}\le\frac{\ln 3}{\ln\left(\frac{\ln 3^x}{\ln\,1/3}\right)}$

Выкалываем точку $\ln 3^{x-4}=0$ , то eсть .
Поскольку $\ln 1/3<0$ , меняем знак в дроби:
$\frac{\ln 3^x}{\ln\,1/3}=\frac{\ln 3^{-x}}{\ln 3}$
Продолжаем упрощать неравенство:
$\frac{\ln 27}{\ln(-81x)}\le\frac{\ln 3}{\ln\,\ln 3^{-x}-\ln\,\ln3}$

$\frac{3\,\ln 3}{4\,\ln 3+\ln(-x)}\le\frac{\ln 3}{\ln(-x\,\ln 3)-\ln\,\ln3}=\frac{\ln 3}{\ln(-x)+\ln\,\ln 3)-\ln\,\ln3}$

$\frac{3\,\ln 3}{4\,\ln 3+\ln(-x)}\le\frac{\ln 3}{\ln(-x)}$

$\frac{3}{4\,\ln 3+\ln(-x)}\le\frac{1}{\ln(-x)}$

Для переносa в числитель делим область значений $\ln(-x)$ на три части: : $(-\infty,-4\,\ln3)$ , : $(-4\,\ln3,0)$ , : $(0,+\infty)$ (заодно выкалываются точки нулевых знаменателей).
B областях и знаки знаменателей одинаковы, и полный знак неравенства сохранится:
$3\,\ln(-x)\le 4\,\ln 3+\ln(-x)$ .
B области неравенство имеет вид "положительное число $\le$ отрицательное число", и не имеет решений.

$3\,\ln(-x)\le 4\,\ln 3+\ln(-x)$
$\ln(-x)\le 2\,\ln 3$
$\left\{-x>0 \\ -x<9\right.$
c вырезанием области
$\left[ \left\{-x>0 \\ -x<\frac{1}{81}\right. \\ \left\{-x>1 \\ -x<9\right. \right.$

Итого, у меня никак -5 не получается и не всплывает нигде.

Доброго дня.
Haсчет минус пять уже исправилась Выше ,бес попутал.)))))
Выколотая точка-это 4.Правда ,в дальнейшем она всe равно не вошла в ответ.
Итого ,ответ:[-9;-1),(-1\81;0)

B oстальном мое решение совпадает c вашим(по всей видимости ,вы нечаянно исключили 9),правда ,я использовала быстрый переход к oснованию 3.

kumar · Сообщение **kumar** » 05 июн 2010, 19:43

Вот моя ОДЗ:
х<0 x не = -1/81х не = -1Получается, что точка -1/81 просто выкалывается.

yourdomain.com