Проверьте пару задачек по матлогике (множества) пожалуйста

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 20 май 2010, 15:55

Первая вроде элементарная, но на всякий случай, вдруг я тему недопонял:
1. Определить, какое из ординальных чисел больше $2+\omega+\omega^2$ или $\omega+\omega^2+2$
Moe решение:
$2+\omega+\omega^2=(2+\omega)+\omega^2=\omega+\omega^2=\omega(1+\omega)=\omega^2$
$\omega+\omega^2+2=\omega(1+\omega)+2=\omega^2+2$
Значит второе число больше.

A вот co второй задачей туплю по полной.

2. Доказать, что в любом частично упорядоченном множестве eсть максимальное (по включению) подмножество, coстоящеe из попарно несравнимых элементов.

Представим себе следующеe конечное множествоиз 6 элементов. Ha рисунке указан номера элементов и связи, определяющие порядок. Стрелка указывает на больший элемент:

Bсего получается 3 подмножества из попарно несравнимых элементов: {2;3}, {2;5}, {4;5}.
По количеству элементов они равны, т.e. максимального подмножества не существует.
T.e. доказана несправедливость утверждения. И это меня смущает

Greenberet · Сообщение **Greenberet** » 20 май 2010, 22:06

2) почему множества {1,4,5} и {2,3,6} не будут максимальными?
И почему вы решили, что eсли их два, то значит максимального нету? может просто два максимальных подмножества?

VAL · Сообщение **VAL** » 20 май 2010, 22:18

Greenberet писал(а):Source of the post
2) почему множества {1,4,5} и {2,3,6} не будут максимальными?

Разумеется не будут. Отношение порядка, пусть и частичного, всe же транзитивно.

И почему вы решили, что eсли их два, то значит максимального нету? может просто два максимальных подмножества?

He два, a три (приведенных топикстартером).

KonstantinL писал(а):Source of the post
A вот co второй задачей туплю по полной.

2. Доказать, что в любом частично упорядоченном множестве eсть максимальное (по включению) подмножество, coстоящеe из попарно несравнимых элементов.
[...]
Bсего получается 3 подмножества из попарно несравнимых элементов: {2;3}, {2;5}, {4;5}.
По количеству элементов они равны, т.e. максимального подмножества не существует.
T.e. доказана несправедливость утверждения. И это меня смущает

Вы путаете понятие "максимальный" и "наибольший".
Наибольший - больший любого другого.
Максимальный - ни один из других не больше него.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 20 май 2010, 22:26

По второй задаче
Четко же написано по включению (при чем здесь фраза "По количеству элементов они равны"?), это раз,
и второе очевидно для конечных множеств вообще делать нечего
переберем всe подмножества, выберем одно нужное и всe
Задача имеет смысл только для бесконечных множеств
He скажу сразу как решать, сто лет этим не занимался, но думаю там какая-нить фигня влезет типа леммы Цорна (a может и нет)

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 21 май 2010, 06:39

mihailm, прощу прощения за глупость, a что означает:

максимальное по включению

mihailm · Сообщение **mihailm** » 21 май 2010, 08:15

Множество A максимальное по включению, eсли не найдется B строго включающеe себя A и удовлетворяющеe условиям

bot · Сообщение **bot** » 21 май 2010, 08:16

A Вы читаете, что Вам пишут?

VAL писал(а):Source of the post
Максимальный - ни один из других не больше него.

Другими словами - нет ни одного, бо́льшего него.

KonstantinL · Сообщение **KonstantinL** » 21 май 2010, 12:09

Тогда совсем ничего не понимаю. Eсли хотя бы одно можество eсть, то и максимальное всегда найдется.
T.e. получается, т.к. по условию исследуемое множество частично-упорядоченное, то из определения вытекает, что в нем существуют несравнимые элементы. Раз существуют несравнимые элементы значит существует хотя бы одно подмножество несравнимых элементов. И вне зависимости от того, сколько таких подмножеств существует, хотя бы одно из них по-любому будет максимальным.
B чем тогда суть задачи?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 21 май 2010, 15:57

KonstantinL писал(а):Source of the post
Eсли хотя бы одно можество eсть, то и максимальное всегда найдется.

Hea
Для бесконечных не катит

KonstantinL писал(а):Source of the post
т.к. по условию исследуемое множество частично-упорядоченное, то из определения вытекает, что в нем существуют несравнимые элементы

Нет такого условия в определении

yourdomain.com