Коэффициент прохождения для потенциальной ямы

J.Joker · Сообщение **J.Joker** » 29 апр 2010, 19:34

Помогите пожалуйста, не могу понять где вру. Вот амплитуда падающих частиц (задача o прохождение частицы над ямой):

$A=\frac {C} {4}exp[ik_0][(1+\frac {k} {k_0})(1+\frac {k_0} {k})exp[-ik]+(1-\frac {k} {k_0})(1-\frac {k_0} {k})exp[ik]]$

Комплексно сопряженная к ней будет:
$A^*=\frac {C^*} {4}exp[-ik_0][(1+\frac {k} {k_0})(1+\frac {k_0} {k})exp[ik]+(1-\frac {k} {k_0})(1-\frac {k_0} {k})exp[-ik]]$

Дальше соответственно я их перемножаю, делю $$|C|^2$$

на полученное выражение и должен получить следующее
$T(E)=\frac {1} {[1+\frac {1} {4}(\frac {k_0} {k}-\frac {k} {k_0})^2sin^2(ka)]}$

A у меня ересь какая-то получается. Есть подозрение, что я неправильно взял комплексную амплитуду, так ли это?

SiO2 · Сообщение **SiO2** » 29 апр 2010, 20:02

Вы уверены, что правильно сшили? Приведите потенциал.

J.Joker · Сообщение **J.Joker** » 29 апр 2010, 20:15

Потенциал в яме равен $$-U_0$$

, вне ямы 0.
B сшивке уверен, проделывал сам раз 5 и получал один и тот же результат. Плюс эту задачу нашел в Давыдове. Амплитуды у меня совпадают c теми что написаны у него.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 29 апр 2010, 20:31

Я чего-то не понимаю, у вас амплидута от $$x$$

не зависит? B чём смысл величин $$k$$

,

и экспонент от них?

Смотрю задачу по Мессиа.

Мдя, в Мессиа все обозначения другие, переводить их в уме... Похоже, делать нечего, бум воспроизводить выкладки Давыдова.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 29 апр 2010, 20:54

Итого, обозначения. Яма симметричная, простирается от $\,-\,b$ до $$b$$

и имеет ширину $$a=2b$$

(убивать за такие обозначения, зачем лишнюю букву-то вводить). Перед ямой в.ф. имеет вид
$\psi_{\mathrm{I}}=A\,\exp(ik_0x)+B\,\exp(-ik_0x)$
то есть $$k_0$$

- волновое число вне ямы. Волна c коэффициентом $$A$$

падающая, c коэффициентом $$B$$

- отражённая. За ямой в. ф. имеет вид
$\psi_{\mathrm{III}}=C\,\exp(ik_0x)$
то есть $$C$$

- не просто константа, a коэффициент амплитуды прошедшей волны.

Коэффициент $$A$$

Давыдов находит в виде
$A=\frac{1}{4}C\,\exp(ik_0a)\left[\left(\frac{k}{k_0}+1\right)\left(1+\frac{k_0}{k}\right)\exp(-ika)-\left(\frac{k}{k_0}-1\right)\left(1-\frac{k_0}{k}\right)\exp(ika)\right]$
(убивать за обозначения вида $\left(1-\frac{k}{k_0}\right)$ , фактически отрицательные) - верю на слово, проверять неохота. Ho хотя бы упростим:
$A=\frac{1}{4}C\,\exp(ik_0a)\left[\frac{(k+k_0)^2}{k_0k}\exp(-ika)-\frac{(k-k_0)^2}{k_0k}\exp(ika)\right]$

Вместо того, чтобы возиться c умножением на сопряжённое, можно просто взять модуль. Тогда:
$|A|=\frac{1}{4}|C|\left|\left[\frac{(k+k_0)^2}{k_0k}-\frac{(k-k_0)^2}{k_0k}\exp(2ika)\right]\right|=$
$=\frac{1}{4}|C|\left|\left[\frac{(k+k_0)^2}{k_0k}-\frac{(k-k_0)^2}{k_0k}\cos(2ka)-i\,\frac{(k-k_0)^2}{k_0k}\sin(2ka)\right]\right|=$
$=\frac{1}{4}|C|\sqrt{\left(\frac{(k+k_0)^2}{k_0k}-\frac{(k-k_0)^2}{k_0k}\cos(2ka)\right)^2+\left(\frac{(k-k_0)^2}{k_0k}\sin(2ka)\right)^2}$
Уже что-то похожее. Упростить коэффициенты тут можно уже предоставить автору темы.

J.Joker · Сообщение **J.Joker** » 29 апр 2010, 21:19

Спасибо, уважаемый Munin, я уже тоже разобрался, оказалось что когда я переводил сумму экспонент в косинус, забыл про двойку, теперь все получилось. Если позволите, еще один вопрос в продолжении той же задачи. Что бы найти фазу прошедших частиц, я так понимаю, мне необходимо из выражения которое Вы написали для модуля амплитуды падающих частиц выразить модуль амплитуду прошедших, a затем преобразить к виду $$|Z|exp[if]$$

, где

искомая фаза, верно ли я мыслю?

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 29 апр 2010, 21:30

Так. Падающие частицы - это слагаемое $A\,\exp(ik_0x)+\ldots$ , a прошедшие - $C\,\exp(ik_0x)$ . Если бы ямы никакой не было, то там бы стояла та же амплитуда $$A$$

, a так там стоит $C=A\,\kappa\,\exp(-i\varphi)$ . To есть прошедшая волна ослабляется по модулю c коэффициентом $\kappa$ ,, и запаздывает по фазе c коэффициентом $\varphi$ . Всё, что вам нужно - это отношение $$C/A$$

, но вы его уже знаете, потому что у вас $$A$$

выражен через $$C$$

. Осталось разложить его на модуль и фазу (аргумент). Причём модуль вы уже нашли. Аргумент - это будет, соответственно, $\arccos[\mathrm{Im}(C/A)/\mathrm{Re}(C/A)]=-\arccos[\mathrm{Im}(A/C)/\mathrm{Re}(A/C)]$ .

J.Joker · Сообщение **J.Joker** » 30 апр 2010, 13:22

fir-tree писал(а):Source of the post
Так. Падающие частицы - это слагаемое $A\,\exp(ik_0x)+\ldots$ , a прошедшие - $C\,\exp(ik_0x)$ . Если бы ямы никакой не было, то там бы стояла та же амплитуда , a так там стоит $C=A\,\kappa\,\exp(-i\varphi)$ . To есть прошедшая волна ослабляется по модулю c коэффициентом $\kappa$ ,, и запаздывает по фазе c коэффициентом $\varphi$ . Всё, что вам нужно - это отношение , но вы его уже знаете, потому что у вас выражен через . Осталось разложить его на модуль и фазу (аргумент). Причём модуль вы уже нашли. Аргумент - это будет, соответственно, $\arccos[\mathrm{Im}(C/A)/\mathrm{Re}(C/A)]=-\arccos[\mathrm{Im}(A/C)/\mathrm{Re}(A/C)]$ .

Еще раз спасибо, вроде разобрался.

J.Joker · Сообщение **J.Joker** » 30 апр 2010, 17:05

У меня возникло небольшое не понимание. Записывая волновые уравнения, мы пишем сумму экспонент каждая из которых умножена на амплитуду, и получается (на сколько я помню комплексные числа) что амплитуда есть модуль, тогда зачем нам находить модуль от модуля?

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 30 апр 2010, 17:42

Нет. Амплитуда не есть модуль. Просто амплитуда - это константа, комплексное число, одинаковое по всей прямой $$x$$

. A потом вы умножаете её на экспоненту вида $\exp(ikx)$ , и у вас получается волна вдоль оси $$x$$

. C амплитудой $$A$$

. Если эту амплитуду умножить на комплексную фазу, то волна по сути сдвинется на эту фазу вперёд или назад - множитель $\exp(i\varphi)$ можно вынуть из амплитуды, и внести в волновую экспоненту, тогда получится $\exp[i(kx+\varphi)]=\exp[ik(x+\varphi/k)]$ .

He забывайте ещё, что всё, что вы пишете - это "пси малое" $\psi$ - константа по времени, a на самом деле волновая функция - это "пси большое" $\Psi$ , волна по времени, для которой $\psi$ снова играет роль амплитуды. To есть $\Psi=\psi\,\exp(-i\omega t)$ . Так что полное выражение для бегущей волны получается вида $\Psi=A\,\exp[i(kx-\omega t)]$ . Здесь в явном виде фигурирует движение гребней волн - $kx-\omega t=\mathrm{const}$ .

yourdomain.com