Счетное или не счётное множество?

eslitak · Сообщение **eslitak** » 20 апр 2010, 19:07

Одномерное множество натуральных чисел {1, 2, 3, ...} счётно.
Двумерное множество натуральных чисел {(1,1), (1,2), (1,...) ... (2,1), (2.2), (2,...)... } счётно.
Вообще N-мерное множество натуральных чисел счётно при любом конечном N.

A является ли счётным бесконечномерное множество натуральных чисел?

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 20 апр 2010, 19:16

eslitak писал(а):Source of the post
A является ли счётным бесконечномерное множество натуральных чисел?

Нет такого понятия, как 2-х мерное и тем более бесконечномерное множество натуральных чисел.

jmhan · Сообщение **jmhan** » 20 апр 2010, 19:46

Объединение счетного семейства счетных множеств - счетно, произведение - нет.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 20 апр 2010, 19:50

eslitak писал(а):Source of the post Двумерное множество натуральных чисел

Это не двумерное множество натуральных чисел, a (декартово = прямое) произведение множеств $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\equiv\mathbb{N}^2$ .

eslitak писал(а):Source of the post A является ли счётным бесконечномерное множество натуральных чисел?

$|\mathbb{N}^n|=\aleph_0$
$|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|=|2^{\mathbb{N}}|=2^{\aleph_0}\equiv\mathfrak{c}$ - мощность континуума, мощность множества вещественных чисел.
(Почти) взаимно-однозначное соответствие между $2^{\mathbb{N}}$ и множеством действительных чисел на отрезке $$[0,1]$$

устанавливается через бесконечные двоичные дроби.

yourdomain.com