Азартная математика

Securus · Сообщение **Securus** » 11 апр 2010, 10:14

Я анализировал вероятность выигрыша в рулетке. Будем, скажем, ставить одинаковые ставки на одно число(если рулетка американская,то в ней 36 чисел+0+00-всего 38). За выигрыш игроку выплачивается сумма в 36 раз больше ставки. Проанализируем вероятность хоть бы одного выигрыша за 36 ходов(тогда у игрока прибыль). Вероятность проигрыша за ход-37/38. Вероятность того, что не будет ни одного выигрыша за 36 ходов:
$(\frac {37} {38})^{36} \approx 0,38 <0,5$ .
Получается, что у игрока есть преимущество в шансах, но казино, конечно, доходы имеет больше чем расходы. Где же у меня ошибка?

Developer · Сообщение **Developer** » 11 апр 2010, 10:30

A Вы переформулируйте задачу иначе: в мешке 38 шаров и один из них белый, остальные чёрные.
Вычислите вероятность того, что за 36 попыток (c возвращением вытащенного шара обратно в мешок) Вы вытащите хотя бы один белый шар.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 11 апр 2010, 10:33

Securus писал(а):Source of the post
Я анализировал вероятность выигрыша в рулетке. Будем, скажем, ставить одинаковые ставки на одно число(если рулетка американская,то в ней 36 чисел+0+00-всего 38). За выигрыш игроку выплачивается сумма в 36 раз больше ставки. Проанализируем вероятность хоть бы одного выигрыша за 36 ходов(тогда у игрока прибыль). Вероятность проигрыша за ход-37/38. Вероятность того, что не будет ни одного выигрыша за 36 ходов:
$(\frac {37} {38})^{36} \approx 0,38 <0,5$ .
Получается, что у игрока есть преимущество в шансах, но казино, конечно, доходы имеет больше чем расходы. Где же у меня ошибка?

Среднее число выигрышей за 36 игр составляет
$\sum_{i=0}^{36} i {36 \choose i} \left( \frac{1}{38} \right)^i \left( \frac{37}{38} \right)^{36-i} \approx 0.94$
так что у казино преимущество.

Securus · Сообщение **Securus** » 11 апр 2010, 10:56

AV_77 писал(а):Source of the post
Среднее число выигрышей за 36 игр составляет
$\sum_{i=0}^{36} i {36 \choose i} \left( \frac{1}{38} \right)^i \left( \frac{37}{38} \right)^{36-i} \approx 0.94$
так что у казино преимущество.

Я не совсем понял структуру вашей формулы, но она похожа на структуру суммы формул Бернулли, что должно дать вероятность хотя бы одного выигрыша. Я думал, что эта вероятность 1-0,38=0,62

PARK · Сообщение **PARK** » 11 апр 2010, 11:07

Securus писал(а):Source of the post
Я анализировал вероятность выигрыша в рулетке. Будем, скажем, ставить одинаковые ставки на одно число(если рулетка американская,то в ней 36 чисел+0+00-всего 38). За выигрыш игроку выплачивается сумма в 36 раз больше ставки. Проанализируем вероятность хоть бы одного выигрыша за 36 ходов(тогда у игрока прибыль). Вероятность проигрыша за ход-37/38. Вероятность того, что не будет ни одного выигрыша за 36 ходов:
$(\frac {37} {38})^{36} \approx 0,38 <0,5$ .
Получается, что у игрока есть преимущество в шансах, но казино, конечно, доходы имеет больше чем расходы. Где же у меня ошибка?

Вы правильно посчитали, но сделали неправильный вывод.
Возьмём пример c рулеткой, но по другому:
Поставьте первым ходом свои ставки на 35 цифр из 38, например по 1$.
Вероятность выигрыша 35/38=0,921. Выиграете вы сколько - всего 1$.
Вероятность проигрыша 3/38=0,079, но проиграете вы 35$.
Поэтому сравнивать надо выигрыш 1*0,921= 0,921 и проигрыш 35*0,079=2,765.
C каждым новым ходом (пусть n) сравнивать 0,921*n и 2,765*n, что увеличивает проигрыш c каждым ходом
A, если поставить на 36 цифр любым ходом, то ваш выигрыш будет всегда 0, a вероятность проигрыша 2/38

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 11 апр 2010, 11:16

Securus писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
Среднее число выигрышей за 36 игр составляет
$\sum_{i=0}^{36} i {36 \choose i} \left( \frac{1}{38} \right)^i \left( \frac{37}{38} \right)^{36-i} \approx 0.94$
так что у казино преимущество.

Я не совсем понял структуру вашей формулы, но она похожа на структуру суммы формул Бернулли, что должно дать вероятность хотя бы одного выигрыша. Я думал, что эта вероятность 1-0,38=0,62

Это мат. ожидание числа выигрышей. Грубо говоря оно означает, что в 100 сериях по 36 игр мы будем выигрывать (в среднем) только 94 раза. To есть проведя 36*100 = 3600 игр и потратив 3600 рублей (ставка - рубль) мы получим обратно только 36*94 = 3384 рубля.

PARK · Сообщение **PARK** » 11 апр 2010, 11:43

У меня есть другая интересная казуистика. Предположим рулетка абсолютно ровная (без дефектов) и без 0 и без 00, только красные и чёрные.
Вероятность выпадения красного и чёрного 1/2, следовательно, чем больше ходов тем более по теории она стремится к 50х50. Например число ходов n=1млн, значит по теории число выпадений красных и чёрным приближено к 500 тыс. Пусть после первых 900тыс ходов выпало 550 тыс. красных и 350 тыс. чёрных (повторюсь - рулетка ровная), какая вероятность выпадения в следующих 100 тыс. ходов:
1)больше выпадет красных (т.к. опираемся на статистику выпадений),
2)больше выпадет чёрных (т.к. чем больше ходов, тем вероятность выпадений должна стремиться к 50х50),
3)либо вероятность 1/2 без учёта предыдущих выпадений
Я то конечно склоняюсь к последему, но всё же.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 11 апр 2010, 11:48

PARK писал(а):Source of the post
У меня есть другая интересная казуистика. Предположим рулетка абсолютно ровная (без дефектов) и без 0 и без 00, только красные и чёрные.
Вероятность выпадения красного и чёрного 1/2, следовательно, чем больше ходов тем более по теории она стремится к 50х50. Например число ходов n=1млн, значит по теории число выпадений красных и чёрным приближено к 500 тыс. Пусть после первых 900тыс ходов выпало 550 тыс. красных и 350 тыс. чёрных (повторюсь - рулетка ровная), какая вероятность выпадения в следующих 100 тыс. ходов:
1)больше выпадет красных (т.к. опираемся на статистику выпадений),
2)больше выпадет чёрных (т.к. чем больше ходов, тем вероятность выпадений должна стремиться к 50х50),
3)либо вероятность 1/2 без учёта предыдущих выпадений
Я то конечно склоняюсь к последему, но всё же.

Конечно третий вариант. Кстати, не стремится к 50x50, a сходится по вероятности. To есть большие отклонения от 50x50 будут происходить достаточно редко.

PARK · Сообщение **PARK** » 11 апр 2010, 11:52

Securus
Ещё более просто объяснить ваш пример:
Поставьте по 1$ на все 38 цифр из 38. Вероятность выигрыша 38/38=1, проигрыша 0/38=0, но выплачивать вам будут 36$, a ставите вы 38$, т.e. c каждым ходом проигрываете по 2$.

Securus · Сообщение **Securus** » 11 апр 2010, 18:11

AV_77 писал(а):Source of the post
Это мат. ожидание числа выигрышей.

Ага, спасибо. Я не пытался использовать матожидание, так как был уверен, что можно просуммировать формулы Бернулли и имею мало опыта в статистике. Кроме того я опасаюсь формул, доказательства которых не видел. Таки решив использовать этот метод, я получил:
Возьмём доход случайной величиной. Она имеет значения -1 и 35 c вероятностями 37/38 и 1/38, тогда матожидание=-1/19, a значит за 3600 ходов мы будем иметь, делая ставку один рубль 3410 рублей. Получается более быстрый способ оценить шансы, a то у Bac немного громоздкая формула. A где Вы, кстати, посчитали её так быстро? Мне пришлось писать программу.

yourdomain.com