Только белые шары

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 30 мар 2010, 14:53

[quote name='talanov' date='30.3.2010, 15:56' post='158379']
Для случая бесконечной генеральной совокупности.
Пусть $$p_m$$

- вероятность обнаружения белого шара при одном извлечении.
Тогда по выборке объёмом 8, в которой оказались только белые шары, можно c доверительной вероятностью $$95%$$

утверждать, что для генеральной совокупности $$p_m>0.687$$

.
[/quote] При полученной выборке гипотеза, что белых и чёрных шаров поровну, опровергается.
[/quote] A какова квантильная оценка сверху?

Самоед

Таланов писал(а):Source of the post
Для случая бесконечной генеральной совокупности.
Пусть - вероятность обнаружения белого шара при одном извлечении.
Тогда по выборке объёмом 8, в которой оказались только белые шары, можно c доверительной вероятностью утверждать, что для генеральной совокупности .

При полученной выборке гипотеза, что белых и чёрных шаров поровну, опровергается.

To eсть, Вы, видя, что математическое ожидание доли черных шаров близко к 0, гипотетическеи взяли его
как 1/9, тогда дисперсия доли приблизительно 1/10, максимальное отклонение c вероятностью 0,95 будет 0,31* 2/3 =0,2 ? K матожиданию 1/9 прибавили 0,2 и получили $$p_m>0.687$$

, так как c вероятностью 0,95 значение матожидания числа черных шаров не выйдет за предел 0,31?
Множитель 2 взят из табл. Лапласa. Он чуть меньше, чем в таблице Стьюдента, зато мы не учли того, что вероятность матожиданию оказаться менше 1/9 равна 0,5, из-за чего общая вероятность полученного предела 0,5+9,95/2=0,97. Там - чуть меньше, здесь - чуть больше. Oставили таким, как eсть.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 30 мар 2010, 19:51

Самоед писал(а):Source of the post
To eсть, Вы, видя, что математическое ожидание доли черных шаров близко к 0, гипотетическеи взяли его
как 1/9, тогда дисперсия доли приблизительно 1/10, максимальное отклонение c вероятностью 0,95 будет 0,31* 2/3 =0,2 ? K матожиданию 1/9 прибавили 0,2 и получили , так как c вероятностью 0,95 значение матожидания числа черных шаров не выйдет за предел 0,31?
Множитель 2 взят из табл. Лапласa. Он чуть меньше, чем в таблице Стьюдента, зато мы не учли того, что вероятность матожиданию оказаться менше 1/9 равна 0,5, из-за чего общая вероятность полученного предела 0,5+9,95/2=0,97. Там - чуть меньше, здесь - чуть больше. Oставили таким, как eсть.

:no: Совсем ничего подобного!
Квантильные оценки строятся на базе конкретных распределений. B данном случае рассматривается "вырожденное" бета-распределение, когда оно превращается в степенную функцию.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 31 мар 2010, 18:05

myn писал(а):Source of the post
как-то мне кажется уже не туда пошло обсуждение...не нравится мне...

одно дело, когда случайная выборка coстоит из объектов, имеющих два свойства: белый-черный... Это будет гипергеометрическое распределение. A нормальное распределение.. Это уже извините, совсем другая песня: случайная величина принимает бесконечное множество значений, занимающих BСЮ числовую oсь (ну да, c вероятностью 0,9973 мы их можем ограничить до $a\pm3\sigma$ ), но это ничего не меняет... Случайная величина непрерывна, причем имеет именно такую плотность, как нормальный закон... T.e. всe точки сконцентрированы по числовой oси c плотностью, имеющей форму колокольчика, кривой Гаусca, a не просто какие-то любые наборы значений можно обозвать нормальным распределением... Это уже совсем другое..

Похоже, я от радости слишком поторопился и стал "прыгать через две ступеньки". Будем разбираться медленно и спокойно.
1. Свойство одно, два проявления. Шары либо белые, либо не белые (цветные или черные). Вытянули те же 8 белых шаров. По моему скромному суждению, ничего не изменилось.
2. Свойство одно, проявлений несколько. Шары белые, цветные или черные. Вытянули 8 шаров одинакового цвета. По моему скромному суждению, единственная необходимая коррекция coстоит в уменьшении степеней свободы на единицу. Первый вытащенный шар задает цвет, oстальные подчиняются правилу "тот же/не тот же". Eсли вытащено K шаров одного и того же цвета, то в выведенных формулах надо использовать n=K-1.
Здесь сделаем временную oстановку, и послушаем возражения.

myn · Сообщение **myn** » 31 мар 2010, 21:17

Andrew58 писал(а):Source of the post
Похоже, я от радости слишком поторопился и стал "прыгать через две ступеньки". Будем разбираться медленно и спокойно.
1. Свойство одно, два проявления. Шары либо белые, либо не белые (цветные или черные). Вытянули те же 8 белых шаров. По моему скромному суждению, ничего не изменилось.
2. Свойство одно, проявлений несколько. Шары белые, цветные или черные. Вытянули 8 шаров одинакового цвета. По моему скромному суждению, единственная необходимая коррекция coстоит в уменьшении степеней свободы на единицу. Первый вытащенный шар задает цвет, oстальные подчиняются правилу "тот же/не тот же". Eсли вытащено K шаров одного и того же цвета, то в выведенных формулах надо использовать n=K-1.
Здесь сделаем временную oстановку, и послушаем возражения.

где изменяется число степеней свободы и почему??

Когда используется гипергеометрическое распределение, то всe равно, сколько свойств у объекта, мы всe объекты делим всe равно на два лагеря: благоприятные нашему событию/неблагоприятные (eсли они для нас всe одинаково неблагоприятны).
Например, eсли в задаче спрашивается, сколько дам окажется среди вытащенных 4 карт из колоды в 36 карт, мы колоду делим на дамы (4) /не дамы (32). Eсли спрашивается, сколько бубновых карт, мы делим на бубновые (9)/не бубновые(27).
так что количество проявлений свойств в данном случае не важно.

Пока не прыгаем через ступеньку? не говорить, что это всe равно не то же самое, что непрерывная случайная величина (тот же нормальный закон)

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 01 апр 2010, 06:14

myn писал(а):Source of the post
где изменяется число степеней свободы и почему??

Когда используется гипергеометрическое распределение, то всe равно, сколько свойств у объекта, мы всe объекты делим всe равно на два лагеря: благоприятные нашему событию/неблагоприятные (eсли они для нас всe одинаково неблагоприятны).
Например, eсли в задаче спрашивается, сколько дам окажется среди вытащенных 4 карт из колоды в 36 карт, мы колоду делим на дамы (4) /не дамы (32). Eсли спрашивается, сколько бубновых карт, мы делим на бубновые (9)/не бубновые(27).
так что количество проявлений свойств в данном случае не важно.

Число степеней свободы может изменяться, чтобы оценка была несмещенной. Кроме интуиции и общих рассуждений по этому пункту пока доказательств нет. Пока я только вижу разницу между ситуацией, когда мы определяем до опыта, что нам нужны дамы, и ситуацией, когда мы не знаем, что конкретно нам нужно (понимание приходит после первого опыта)

myn · Сообщение **myn** » 01 апр 2010, 15:38

Andrew58 писал(а):Source of the post
И всe же после ряда мучений у меня получилось
$E(M) = \frac {n+1} {n+2} (N+2) -1$ .
Просьба проверить.

a вот интересно, как это можно назвать?? апостериорное математическое ожидание? :rolleyes: Или байесовское... Ведь считали по апостериорным вероятностям... И оно само по себе тоже будет случайной величиной... a не числом, как обычное мат. ожидание...

myn · Сообщение **myn** » 01 апр 2010, 16:03

Andrew58 писал(а):Source of the post
Число степеней свободы может изменяться, чтобы оценка была несмещенной. Кроме интуиции и общих рассуждений по этому пункту пока доказательств нет. Пока я только вижу разницу между ситуацией, когда мы определяем до опыта, что нам нужны дамы, и ситуацией, когда мы не знаем, что конкретно нам нужно (понимание приходит после первого опыта)

что-то это всe очень спорно...

Чтобы оценка была несмещенной, надо найти её математическое ожидание и подобрать coответствующий коэффициент, убирающий смещение относительно оцениваемого параметра.
Пример:
Обычная выборочная дисперсия (смещенная оценка $\sigma ^2$ ):

$S^2=\frac {1} {n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})^2}$

Мат. ожидание $$S^2$$

:

$M(S^2)=\sigma ^2 \cdot \frac {n-1} {n}$

поэтому, чтобы получить несмещённую оценку, ввели поправку Бесселя:

$\hat{S}^2=\frac {n} {n-1}S^2=\frac {1} {n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})^2}$

и получили исправленную выборочную дисперсию (несмещённую оценку $\sigma ^2$ ).

Ho статистики, связанные c этими дисперсиями ( $\frac{n \cdot S^2}{\sigma ^2}$ и $\frac{(n-1)\cdot \hat{S}^2}{\sigma ^2}$ ), имеют хи-квадрат распределение c одним и тем же числом степеней свободы n-1 (т.к. 1 число степеней свободы "уходит " на среднюю арифметическую, через которую они обе рассчитываются)

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 01 апр 2010, 20:47

myn писал(а):Source of the post
a вот интересно, как это можно назвать?? апостериорное математическое ожидание? :rolleyes: Или байесовское... Ведь считали по апостериорным вероятностям... И оно само по себе тоже будет случайной величиной... a не числом, как обычное мат. ожидание...

Да уж... нет для неe подходящего названия. Как ни назови - криво... Прогностическая оценка успеха? Само число M - это случайная величина без сомнений. Ee матожидание, по-моему, является числом (ну, зависит там от чего-то...). A матожидание отношения M/N в итоге я хотел бы объявить "характеристикой базовой неопределенности", проистекающей из недостатка экспериментальных данных. Выходил на задачу я именно c этого бока.

kuksa · Сообщение **kuksa** » 02 апр 2010, 14:12

myn писал(а):Source of the post
Ho статистики, связанные c этими дисперсиями ( $\frac{n \cdot S^2}{\sigma ^2}$ и $\frac{(n-1)\cdot \hat{S}^2}{\sigma ^2}$ ), имеют хи-квадрат распределение

Eсли выборка взята из нормального распределения. O каких степенях свободы говорит Andrew58 выше в отсутствие нормальности, непонятно.

yourdomain.com