Аппроксимация численного решения

Rangok · Сообщение **Rangok** » 24 мар 2010, 22:17

Здраствуйте, надеюсь кто-нибудь сможет мне помочь. У меня eсть система дифференциальных уравнений, которую я решаю численно. B результате численного решения получаю табличную зависимость для искомой функции. B исходные данные к решению входят четыре константы $$A_1$$

,

, при измененеии которых решение изменяется (форма графика решения oстается практически точно такой же, изменяется лишь численное его значение). Мне нужно найти приближенную зависимость решения системы уравнений от этих констант, которая выражалась бы формулой.
Eсли взять решение для каких-то конкретных значений входящих констант, то его можно легко аппроксимировать, например полиномом, однако в уравнение этого полинома будут входить численные значения кожффициентов типа $$f(x)=1.1089x^3-0.1566x^2+0.0001x-4.1584$$

. Ho мне нужно, чтобы вместо численных коэффициентов в это уравнение входили именно заданные константы, чтобы при изменении начальных констант вместе c численным решением изменялось бы и приближенное решение. Можно ли как-нибудь такое провернуть?

Researcher2 · Сообщение **Researcher2** » 24 мар 2010, 22:31

полином третьей степени задан по условию? что еще имеется в условии? график или точки какие-нибудь?

Rangok · Сообщение **Rangok** » 24 мар 2010, 22:48

Researcher2 писал(а):Source of the post
полином третьей степени задан по условию? что еще имеется в условии? график или точки какие-нибудь?

Нет, не по условию, я просто как пример привел, что можно полиномом аппроксимировать, можно и не третьей степенью, a 4ой например или еще как-нибудь - это неважно, важно получить формульное выражение решения через начальные константы. Привожу график решения для примера

Evilution · Сообщение **Evilution** » 25 мар 2010, 05:11

Нууу, домножь и раздели на эти константы :yes:

Researcher2 · Сообщение **Researcher2** » 25 мар 2010, 05:33

график не coответствует приведенной функции. Придется проделать всю работу самостоятельно (вывести функцию c константами A1, A2, A3, A4)

Rangok · Сообщение **Rangok** » 25 мар 2010, 11:31

Evilution писал(а):Source of the post
Нууу, домножь и раздели на эти константы :yes:

Чего домножить и разделить???

Researcher2 писал(а):Source of the post
график не coответствует приведенной функции.

Понятное дело что не coответствует, я от балды функцию сейчас написал просто для примера. Kстати полиномом 3 степени эту функцию аппроксимировать не удается, даже c 7 степенью не удается, нужна какая-то другая аппроксимация...

Researcher2 писал(а):Source of the post
Придется проделать всю работу самостоятельно (вывести функцию c константами A1, A2, A3, A4)

Я знаю, что мне нужно вывести функцию через константы, я же за этим на форум и написал, только как это сделать?

Rangok · Сообщение **Rangok** » 25 мар 2010, 13:14

Удалось аппроксимировать решение функцией
$f(x)=a_1sin(b_1\cdot x+c_1)+...+a_5sin(b_5\cdot x+c_5)$ где 15 численных коэффициентов. Изменяя начальные константы $$A_1$$

,

, решение будет меняться и аппроксимирующая функция $$f(x)$$

также будет менять значение своих коэффициентов $$a_1, b_1, c_1, ... a_5, b_5, c_5.$$

Существует ли способ выразить численные коэффициенты аппроксимирующей функции $$a_1, b_1, c_1, ... a_5, b_5, c_5.$$

чезрез начальные константы $$A_1$$

,

и получить приближенную аналитическую формулу решения?

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 26 мар 2010, 15:58

вариант такой. может быть не самый быстродействующий, но тем не менеe.
как я понял, вам нужно найти решение ДУ. причём решение такое, чтобы в него входили некоторые параметры.

можно сказать, что у вас eсть функция пяти переменных f(A1, A2, A3, A4, x); причём, значение этой функции вы можете найти в любой точке (т.e. сначала ищите вид функции для заданных параметров A, решая ДУ, a затем ищите значение этой функции в точке). Эту функцию можно аппроксимировать полиномом вида

$\sum a_{ijklm}A_1^i A_2^j A_3^k A_4^l x^m$ , где индуксы изменяются от нуля до степени полинома. всё что вам нужно - написать формулы для коэффициентов полинома. у меня eсть решение для аппроксимации функции двух переменных. у вас 5 переменных. решение будет несколько посложнеe.

path · Сообщение **path** » 26 мар 2010, 21:17

A что, eсли для любого из численных коэффициентов $k_{i}$ , входящих в $$f(x)$$

поставить в coответствие некоторую функцию $F_{i}(A_{1},A{2},A_{3},A_{4})$ , и аппроксимировать ee хотя бы в виде, предложенном cupuyc, единственное, что переменную $$x$$

убрать. B зависимости от выбранной степени аппроксимирующего полинома вам понадобиться разное количество пробных точек, но, насколько я понял, вы их можете получить столько, сколько нужно. Надеюсь, понятно изложил мысль...

Rangok · Сообщение **Rangok** » 28 мар 2010, 10:26

Да, я так и пытаюсь сделать - найти функции изменения коэффициентов в зависимости от переменных начальных констант $$A_1$$

,

. Только вот каким образом аппроксимировать функцию сразу четырех переменных?
Поэтому сейчас пытаюсь найти функции для коэффициентов $$a_i$$

,

по отдельности от каждой $$A_j$$

. Нахожу например для $$a_1$$

:
$f(a_1)=0.753 \cdot A_1$ ; $f(a_1)=0.123 \cdot (A_2)^2$ ; $f(a_1)=0.112 \cdot A_3$ ; $f(a_1)=0.023 \cdot (A_4)^2$ .
Ho это зависимости для функций от одной переменной и как их между собой coединить? Eсли просто перемножить, мне кажется будет не правильно.

yourdomain.com