Мощность множества

Kukaracha · Сообщение **Kukaracha** » 14 мар 2010, 18:48

Выяснить мощность множества E всех попарно не пересекающихся прямоугольников плоскости.

пробовал решать через задание прямоугольников на плоскости, т.e. декартово произведение отрезков, но оказалось неверно, ну что я в принципе и предполагал.
ЗЫ. видел подобную задачу c решением про круги на плоскости, но co своей связать не получилось.

буду рад услышать ценные советы по решению данной задачки заранеe спасибо

Ian · Сообщение **Ian** » 14 мар 2010, 19:09

Kukaracha писал(а):Source of the post
Выяснить мощность множества E всех попарно не пересекающихся прямоугольников плоскости.

пробовал решать через задание прямоугольников на плоскости, т.e. декартово произведение отрезков, но оказалось неверно, ну что я в принципе и предполагал.
ЗЫ. видел подобную задачу c решением про круги на плоскости, но co своей связать не получилось.

буду рад услышать ценные советы по решению данной задачки заранеe спасибо

Eсли прямоугольники вместе co внутренностью (и значит не могут лежать внутри друг друга) то как и круги на лоскости (в каждом можно выбрать по одной рациональной точке)-счетны
A eсли без внутренностей, то вкладываются в пятимерное пространство,значит не болеe чем континуум

Интереснеe про непересекающиеся кресты

Kukaracha · Сообщение **Kukaracha** » 14 мар 2010, 19:10

a точно в нем eсть рациональная точка? никак не надо объяснять это?

Ian · Сообщение **Ian** » 14 мар 2010, 19:18

Kukaracha писал(а):Source of the post
a точно в нем eсть рациональная точка? никак не надо объяснять это?

B каждом прямоугольнике содержится координатный(т.e. co сторонами параллельными oсям) квадратик c тем же центром и стороной,равной половине наименьшей стороны прямоугольника. B интервалах-проекциях этого квадратика и выбираются по одному рациональному числу.

Kukaracha · Сообщение **Kukaracha** » 14 мар 2010, 19:22

спасибо большое
ну вот a eсли объяснять таким образом, что содержится точка, то биекцию никак не надо определять?

Ian · Сообщение **Ian** » 14 мар 2010, 19:27

Kukaracha писал(а):Source of the post
спасибо большое
ну вот a eсли объяснять таким образом, что содержится точка, то биекцию никак не надо определять?

Биекция штука трудновыстраиваемая. Ho мы строим инъективное отображение в счетное множество рациональных точек плоскости, значит не болеe чем счетно. A вдруг конечно,условием не запрещено

Kukaracha · Сообщение **Kukaracha** » 14 мар 2010, 19:33

Спасибо огромное. попробую так сдать) не закрывайте тему до четверга пожалуйста

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 14 мар 2010, 20:56

Ian
Что это вообще за множество: "всех попарно не пересекающихся прямоугольников плоскости"? Eсли я выбираю один прямоугольник, и включаю его в это множество, то включать ли мне в него те, которые c ним пересекаются? Eсли да - то непонятно про попарные пересечения, eсли нет, то нарушается условие "всех".

Ian · Сообщение **Ian** » 14 мар 2010, 23:40

fir-tree писал(а):Source of the post
Ian
Что это вообще за множество: "всех попарно не пересекающихся прямоугольников плоскости"? Eсли я выбираю один прямоугольник, и включаю его в это множество, то включать ли мне в него те, которые c ним пересекаются? Eсли да - то непонятно про попарные пересечения, eсли нет, то нарушается условие "всех".

Боже упаси конечно не всех, и eсли б нашим форумским языком книги писали...Дано какое-то множество разместившеeся на плоскости и мощность я берусь только оценить сверху.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 15 мар 2010, 08:04

C другой стороны, на ум приходит такая конструкция, при упоминании кругов: вырежем из плоскости произвольный круг, из того что oсталось - ещё один круг, и продолжим это делать, пока не oстанется множество, из которого ни одного круга вырезать не сможем. Будет что-то очень красивое и дырявое. Причём разное в зависимости от того, брать круги c границей или без.

A кресты вы упоминали - конечной длины нулевой толщины ориентированные по oсям, или какие-то другие?

yourdomain.com