две загадочные задачи для 9-ого класса

e1300 · Сообщение **e1300** » 27 ноя 2015, 14:13

Сломали голову...Кто поможет?
1) Решите в натуральных числах уравнение: А!+В!+С!=D!
2) Решите уравнение: (х+1)2015 + (х+1)2014 * (х-1) + (х+1)2013 * (х-1)2 +......+ (х-1)2015 = 0 (2015,2014,2013,2 - это степени)

ARRY · Сообщение **ARRY** » 27 ноя 2015, 21:46

e1300 писал(а):Source of the post Сломали голову...Кто поможет?

А если серьёзно, почему не пишете формулы в ТЕХ-е? Уважайте тех, у кого просите помощи.
В 1-м уравнении $$A!+B!+C!=D!$$

условно упорядочим неизвестные в левой части: $A\leqslant B\leqslant C<D$ .
Понятно, что $D!\geqslant(C+1)!=C!\cdot (C+1)$ .
С другой стороны, $A!+B!+C!\leqslant 3C!$ .
Из этих двух неравенств получаем третье: $C!\cdot (C+1)>3C!$ . Здесь знак строгого неравенства, и оно выполняется при $$C+1>3$$

.
Значит, при $$C>2$$

получаем

, и исходное уравнение корней не имеет.
Учитывая, что $$C$$

- максимальное из чисел $$A, B, C$$

, то осталось ручками перебрать возможные варианты. Их всего 4.
$$1. A=1, B=1, C=1$$

.
Легко видеть, что только 4-й вариант удовлетворяет исходному уравнению. А из него следует, что $$D=3$$

.
Значица, единственное решение $$A=2, B=2, C=2, D=3$$

Как-то так.

Albe · Сообщение **Albe** » 27 ноя 2015, 22:25

Очевидно, что $$x=1$$

- не является корнем уравнения.
Тогда разделим уравнение на $(x-1)^{2015}$
Получаемое в новом виде уравнение можно свести к $((x+1)/(x-1))^{2016}-1=0$
Ответ: $$x=0$$

e1300 · Сообщение **e1300** » 29 ноя 2015, 06:31

Спасибо огромное всем!

yourdomain.com