обруч (физика)

[w.wrobel]

Вал радиуса r вращается вокруг своего неподвижного центра A с постоянным угловым ускорением . На вал надет однородный обруч (массы m) радиуса R, R>r. Обруч не проскальзывает по валу.
Найти угол  отклонения от вертикали (см рис) при котором центр обруча S не меняет свою высоту со временем.
 

[Anik]

У меня получилось:

 

[w.wrobel]

Почти точно, должно быть -- при указаном направлении вращения вала, обруч отклонится не вправо, а влево. Уравнение движения следующее:$$
 
Это уравнение можно представить в лагранжевой форме $$
"Потенциальная энергия" W дает полное качественное описание системы: кроме колебательного режима есть еще движения при которых прямая AS , вращается по часовой стрелке
 

[Anik]

Source of the post при указаном направлении вращения вала, обруч отклонится не вправо, а влево.

Указано направление углового ускорения (против часовой стрелки). В этом же направлении будет действовать момент силы, который отклоняет обруч (против часовой  стрелки). Момент от силы тяжести равен, и противоположно направлен, (по часовой стрелки), именно так как указано на рисунке. Так, что всё правильно.
Всё зависит от того, какое направление углов скоростей и моментов сил принято за положительное. Т.е. от направления единичного орта по оси.
Если , то направление против часовой стрелки - положительное. Значит у меня знак правильный.

[w.wrobel]

 
 

Source of the post Указано направление углового ускорения (против часовой стрелки). В этом же направлении будет действовать момент силы, который отклоняет обруч (против часовой стрелки). Момент от силы тяжести равен, и противоположно направлен, (по часовой стрелки), именно так как указано на рисунке.

при такой расстановке сумма сил, действующих на обруч не равна нулю заведомо
,
 

[w.wrobel]

Source of the post Указано направление углового ускорения (против часовой стрелки). В этом же направлении будет действовать момент силы, который отклоняет обруч (против часовой стрелки). Момент от силы тяжести равен, и противоположно направлен,

вот ровно в этом у вас ошибка. с какой стати моменты уравновешены? при постоянном обруч крутится с угловым ускорением

[Anik]

Source of the post вот ровно в этом у вас ошибка. с какой стати моменты уравновешены?

Моменты сил уравновешены в соответствии с концепцией кинетостатики, но это равновесие моментов динамичевкое. Для его осуществления и необходимо постоянное угловое ускорение вращения обруча.

Source of the post при постоянном  обруч крутится с угловым ускорением 

Да. И направлено оно так же, как и момент силы  против часовой стрелки. 
Вот этот "внешний" приложенный к обручу момент силы уравновешивается инерционныи моментом силы 
Приравнивая моменты, находим из уравнения .
 

[w.wrobel]

У вас сумма сил,действующих на обруч не равна нулю. Это как, ничего?

[Anik]

Source of the post У вас сумма сил,действующих на обруч не равна нулю.

Она и не должна быть равной нулю, иначе обруч находился бы в статическом равновесии. В соответствии с принципом кинетостатики, сумма всех сил, действующих на тело плюс силы инерции равно нулю. Но тогда равновесие динамическое, толо должно либо ускоренно двигаться, либо ускоренно вращаться, чтобы силы инерции имели место быть.

На обруч действует сила тяжести. Перенесём эту силу в точку В, получим силу mg', плюс присоединённый момент, пару сил: N и mg. Это синие векторы на рисунке. Этот момент сил пытается повернуть обруч по часовой стрелке, и он бы так и сделал, если бы на обруч не действовал вал. Вал, в точке касания В создаёт касательную (к обручу) силу, направленную влево вниз (на рис. не показанную). Эта сила с плечом R и создаёт момент силы, который ускоренно вращает обруч и который не даёт обручу повернуться по часовой стрелке, чтобы его ц.м. занял минимальную высоту.

[w.wrobel]

 
 

Source of the post Она и не должна быть равной нулю,

а раз она не равна нулю, то центр масс обруча движется с ускорением. Теорема о движении центра масс называется.