кинематика, цилиндр.

w.wrobel · Сообщение **w.wrobel** » 11 окт 2015, 07:55

этот дурак, ко всему в придачу, еще и не знает, что нулевой вектор параллелен любому вектору.

Anik · Сообщение **Anik** » 11 окт 2015, 08:33

w.wrobel, я вас разве оскорблял?
Вы себя неприлично ведёте на форуме.
Если следовать Татаринову (и вашему замечанию), то я могу высказать такое утверждение: в неподвижном твёрдом теле всегда существуют такие точки, скорость которых (равная нулю) параллельна вектору угловой скорости тела (который тоже нулевой). Ну и в чём конструктивный смысл данного утверждения? Зачем людям морочить голову про "мгновенно-винтовое движение" и сводить все (определённые до Татаринова) классы спецефических движений твёрдого тела, к какому-то псевдоуниверсальному классу "мгновенно-винтового движения"? Не вижу в этом никакого смысла.
Я написал "псевдоуниверсальному" потому, что для плоскопараллельного, поступательного и вращательного движений твёрдого тела истинно винтовое движение вырождено, с нулевой компонентой скорости по бинормали к траектории. Если проекция скорости на бинормаль равна нулю, то у кривой нет кручения, и нет винтового движения как такового.

Anik · Сообщение **Anik** » 11 окт 2015, 08:42

Для тела, совершающего плоскопараллельное движение, таких точек не может быть по определению.

Плоскопаралле́льное движе́ние (плоское движение) — вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости.

Из дифференциальной геометрии известно, что скорости точек тела лежат в соприкасающейся плоскости. Если траектория плоская кривая, то векторы скоростей точек лежат в плоскости траектории. Если тело, совершающее плоскопараллельное движение, вращается вокруг мгновенной оси вращения, то вектор угловой скорости перпендикулярен полоскостям траекторий точек тела и перпендикулярен векторам скоростей точек, а не параллелен им.
***Всвязи с репликой w.wrobel решил добавить. Если ненулевые векторы скоростей всех точек тела коллинеарны заданной плоскости, то почему мы должны считать, что нулевые векторы скоростей точек, лежащих на оси вращения, должны быть уже нормальны к заданной плоскости (параллельны $\omega$ ), а не коллинеарны ей?

Anik · Сообщение **Anik** » 11 окт 2015, 11:54

Продолжим.
Сначала Татаринов обозначает буквой С точку твёрдого тела, скорость которой параллельна вектору угловой скорости. Далее, он говорит: "В случае, когда $\mathbf v_c=0$ , говорят о мгновенном вращении и его оси." и рассматривает случаи когда точка С неподвижна.
"...б) движение плоское...С - ... мгновенный центр скоростей...
в) происходит качение (без проскалзывания) тела по неподвижной плоскости..."
Как будто случай в), это не плоское движение, как в случае а).
Далее, он как напёрсточник говорит: "пусть С точка касания". Действительно, точка касания С в данный момент времени совпадает с неподвижной точкой на мгновенной оси (ранее это была точка С твёрдого тела), к тому же, как следует из последней формулы, обведённой красной рамкой, это ещё и точка Р плоскосити. Причём, почему-то написано $\mathbf a_{P=C}$ , где С уже "видимый образ точки качания" который имеет вообще говоря ненулевую скорость. Но точка Р принадлежащая плоскости разве может тоже иметь ненулевую скорость или иметь ускорение (плоскость-то неподвижна)?
А что такое "видимый образ" точек касания С, которые по Татаринову имеют скорость? Это заячьи следы на снегу от драпающего зайца. Это след от точки касания шарика шариковой ручки. Эти следы не могут иметь скорость. Это вообще не точка, принадлежащая телу, это разные точки, которые для тела были неподвижны в рвзные моменты времени. Нет смысла говорить о скорости точки касания так же, как нет смысла говорить о скорости точки циклоиды, где у неё излом. сама циклоида неподвижна, а скорость точки колеса на изломе циклоиды равна нулю.
Объясните мне, скорость $\mathbf u_C$ , в последней формуле в красной рамочке , это скорость чего?

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 11 окт 2015, 12:31

Anik писал(а):Source of the post w.wrobel, я вас разве оскорблял?
Вы себя неприлично ведёте на форуме.

M	Anik, воинствующее невежество - это оскорбление всех участников Форума. Будьте благоразумны.

A	Anik, воинствующее невежество - это оскорбление всех участников Форума. Будьте благоразумны.

12d3 · Сообщение **12d3** » 12 окт 2015, 07:55

Anik писал(а):Source of the post Укажите мне точку на цилиндре, катящемся по плоскости без скольжения, скорость которой параллельна вектору угловой скорости, тогда скажете, что я выпендриваюсь!

Любая точка касания, очевидно. Теперь можно?

Anik · Сообщение **Anik** » 12 окт 2015, 08:52

w.wrobel писал(а):Source of the post

Я не хочу быть воинствующим невеждой. В предыдущем сообщении я ошибся, точка Р, это точка принадлежащая телу, которая в данный момент находится в точке касания. Признаю свою ошибку. Скорость $\vec u_c$ это, если я правильно понял, скорость "видимого образа точки касания".
Так вот, я продолжаю утверждать, что формула, обведённая красной рамкой не верна!
Я докажу это, но для этого нам придётся решить две простые задачи, и обратить внимание на общее условие задачи: "происходит качение (без проскальзывания) тела по неподвижной поверхности." сформулированное Татариновым. Заметьте, что не сказано, что неподвижная поверхность - плоскость.
Итак, первая задача. Неподвижная поверхность - плоскость.
Прямой круговой цилиндр катится без скольжения по плоскости. Найти ускорение точки тела Р, которая в данный момент оказалась в точке касания цилиндра с плоскостью. Угловая скорость качения цилиндра задана, и равна $\mathbf\omega$ .
Мы решим эту задачу стандартным методом теоретической механики, рассмотрев движение цилиндра как сложное, состоящее из относительного движения - равномерное вращение со скоротью $\omega$ - и переносного движения - поступательное равномерное и прямолинейное движение СО (в которой цилиндр вращается).
Решение.
Ускорение точки цилиндра, отстоящей от оси вращения на расстоянии R (пусть это радиус цилиндра), складывается из относительного, переносного и кориолисова ускорений.
Относительное ускорение равно
$\mathbf a_r = \frac{v^2}{R} \mathbf e_R = \frac{v^2}{R^2} \mathbf R$
или
$\mathbf a_r = \omega^2 \mathbf R.$
Переносное ускорение равно нулю, т.к. переносное движение это движение подвижной СО, оно равномерное и прямолинейное.
Кориолисово ускорение тоже равно нулю, т.к. переносное движение не вращательное.
Окончательно имеем: $\mathbf a = \omega^2 \mathbf R.$
Все точки на боковой поверхности цилиндра радиуса R имеют одинаковые по модулю ускорения, в том числе точки, лежащие на мгновенной оси вращения (точки касания цилиндра с плоскостью).
Теперь докажем, что найденная формула эквивалентна формуле Татаринова: $\mathbf a=-[\vec\omega\times \mathbf u_c]$
$\mathbf u_c=-\mathbf V_R$ . Скорость "видимого образа точки касания" равна и противоположно направлена окружной скорости $\mathbf V_R$ точки цилиндра, в момент касания. Мы знаем, что $\mathbf V_R=[\vec\omega\times\mathbf R]$ подставим это значение вместо $\mathbf u_c$ , получим
$\mathbf a=-[\vec\omega\times[\vec\omega\times\mathbf R]]=\vec\omega(\vec\omega\cdot R)-\manhbf R(\vec\omega\cdot\vec\omega)= \omega^2\mathbf R$ , что и требовалось доказать.
Теперь вторая задача.
По неподвижному цилиндру радиуса R перекатывается без скольжения другой цилиндр, тоже с радиусом R. Угловая скорость вращения $\vec \omega$ центра подвижного цилиндра вокруг неподвижного, задана и постоянна.
Найти ускорение точки подвижного цилиндра Р, которая в данный момент оказалась в точке касания двух цилиндров.
Задачу решаем тем же, давно проверенным стандартным методом, рассматривая движение подвижного цилиндра как сложное. Теперь уже переносное движение подвижного цилиндра - вращательное, и будут присутствовать как относительное, так и кориолисово ускорение точки подвижного цилиндра.
Найдём относительное ускорение точки на радиусе R подвижного цилиндра. Оно такое же, как и в первой задаче: $\mathbf a_r = \omega^2 \mathbf R.$
Найдём переносное ускорение той же точки: $\mathbf a_e = \omega^2 \mathbf R.$ Оно равно относительному в данном случае. Это скорость той точки подвижного цилиндра, которая оказалась в данный момент в точке касания в её переносном движении вокруг неподвижного цилиндра, т.е. вращении с угловой скоростью $\vec\omega$
Теперь найдём кориолисово ускорение той же точки (касания) принадлежащей подвижному цилиндру.
$\mathbf a_k=2[\vec\omega\times\mathbf v_r]=2[\vec\omega\times[\vec\omega\times\mathbf R]]$
"Абсолютное" т.е. результирующее ускорение точки P равно сумме трёх найденных ускорений.
$\mathbf a_a=2\omega^2\mathbf R+2[\vec\omega\times[\vec\omega\times\mathbf R]]$
А что там даёт формула Татаринова для этого случая, может кто-нибудь подсчитать?

Anik · Сообщение **Anik** » 12 окт 2015, 09:22

Кажется я в очередной раз ошибся, простите. Дело в том, что во второй задаче относительное и переносное ускорения равны по модулю, но направлены в противоположные стороны. Одно к центру подвижного цилиндра (относительное), другое к центру неподвижного цилиндра (переносное). Поэтому, вместо удвоенной суммы получится нуль.
Тогда окончательная формула будет выглядеть так: $\mathbf a_a=2[\vec\omega\times[\vec\omega\times\mathbf R]]$
Мы видим, что по сравнению с первой задачей результат отличается ровно в два раза.

Anik · Сообщение **Anik** » 12 окт 2015, 14:53

Вот опять, я из-за лени самому набрать формулы, бездумно скопировал их из википедии.

$a_n = \frac{v^2}{R}\$ или
$a_n = \omega^2 R\ ,$
где $a_n\$ — нормальное (центростремительное) ускорение, $v\$ — (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, $\omega\$ — (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, $R\$ — радиус кривизны траектории в данной точке. (Связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая $v = \omega R\$ ).
Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на $\mathbf e_R$ — единичный вектор от центра кривизны траектории к данной ее точке:
$\mathbf a_n = \frac{v^2}{R} \mathbf e_R = \frac{v^2}{R^2} \mathbf R$
$\mathbf a_n = \omega^2 \mathbf R.$

"Их легко записать в векторном виде, домножив на $\mathbf e_R$ — единичный вектор от центра кривизны траектории к данной ее точке:"
Но ведь неправильно это! Центростремительное ускорение направлено к центру кривизны, а не по радиусу от центра. в этих формулах должен стоять знак минус!
Или я шизую? Почему многие читающие википедию не укажут тогда на эту ошибку и не исправят её? Скажите же мне что-нибудь по этому поводу, хоть кто-нибудь!

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 12 окт 2015, 15:17

Anik писал(а):Source of the post должен стоять знак минус!

Здесь: http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph6/theory.html#.Vhu9TCtvBQE http://physics.ru/courses/op25part1/conten...ml#.Vhu9TCtvBQE

yourdomain.com