Числовые превращения

[Swetlana]

Нет, ещё не все. Похоже, a

[Swetlana]

Опять тот же баг. Часть сообщения исчезла, и нет кнопки редактирования. Видно, пора оставить эту тему в покое.

[12d3]

Нашел цепочку превращений для .
1 2 3 4
0 2 4 4
4 4 6 26
4 6 26 34
-8 0 4 34
4 8 24 34
-10 2 4 24
-46 -18 -10 4
-18 4 8 16
-18 -4 4 8
2 4 6 8.

[12d3]

Для еще короче:
1 2 3 4 5
-2 -2 2 3 4
-35 -9 -2 2 4
-12 -2 2 4 8
2 4 6 8 10

[Ian]

Фантастика.

Source of the post Для еще короче:
1 2 3 4 5
-2 -2 2 3 4
-35 -9 -2 2 4
-12 -2 2 4 8
2 4 6 8 10

Если бы удалось придумать цепочку, которая делает то же самое, и она же переводила бы 1 1 1 1 1 в 2 2 2 2 2 , то вся задача была бы решена. Действительно, по линейности цепочка переводила бы 5 подряд стоящих в них же, удвоенных, вот и разбить 1 2 ...n на одну четверку , потом несколько пятерок, либо просто на пятерки.

[12d3]

Source of the post Если бы удалось придумать цепочку, которая делает то же самое, и она же переводила бы 1 1 1 1 1 в 2 2 2 2 2 , то вся задача была бы решена.

Честно говоря, я сомневаюсь, что такую удастся найти. Хочу попробовать зайти с другого боку - взять два числа и преобразовывать только их, и посмотреть, можно ли как-нибудь описать множество линейных преобразований, которые являются конечными композициями того, которое в условии задано.

[12d3]

Не, плохая идея.

[Swetlana]

Молодцы!!! А то бы я продолжала мучиться, 1,2,3,4 преобразовывать.
 
За вечер доказала лемму, щас нет сил её аккуратно записать (и проверить). Доказывается крайне просто через чётность-нечётность. 
Обозначим a' = 3a - b; b' = 13a-3b. Пару (a', b') назовём непереводимой, если для неё не существует такой пары (a, b).
1. Если разность |a'-b'| нечётна, то (a', b') непереводима.
2. Если разность |a'-b'| чётна, то два варианта.
Разность имеет вид 2k, для переводимости чётность k должна совпадать с чётностью a'; иначе пара непереводима. 
 

[12d3]

Если чуточку короче, то у непереводимой пары сумма чисел не кратна 4.

[12d3]

Source of the post переводила бы 1 1 1 1 1 в 2 2 2 2 2

Вот такое вообще никак нельзя сделать. Если идти от конечной позиции обратными преобразованиями к начальной, то можно только два шага сделать.