Числовые превращения

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 03 окт 2015, 06:59

На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $$a$$

и

и заменяем их на числа $$3a-b$$

и

.
При каких натуральных $$n$$

, если вначале на доске были записаны числа $1, 2, \dots , n$ , можно через конечное число шагов получить на доске числа $2, 4, \dots , 2n$ ?

ARRY · Сообщение **ARRY** » 03 окт 2015, 07:40

[quote name='Xenia1996' date='03.10.2015, 10:59' post='152548' type='node']На каждом шаге мы выбираем числа a и b[/quote]
Xenia1996, а как именно выбираются числа а и b - рандомно, по возрастанию или ещё по какому алгоритму?

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 03 окт 2015, 07:58

Как душе угодно.

Ian · Сообщение **Ian** » 03 окт 2015, 10:02

n или n+1 должны делиться на 5, так как остаток от деления суммы всех чисел на 5 эти преобразования не меняют
Однако как перевести, например, 1,2,3,4 в 2,4,6.8 пока неизвестно

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 04 окт 2015, 10:46

Ellipsoid писал(а):Source of the post На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа и и заменяем их на числа и .

Можно

заменить на $$13a-3b$$

или обязательно на $$3a-b$$

?

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 04 окт 2015, 11:25

Если не ошиблась с решением системы уравнений:
Первая пара: a=1, b=4. Вторая пара: a1=3, b1=6. Делаем для каждой пары замены.
Затем образуем пару 3a-b, 3a1-b1, заменяем и получаем 2a, 2a1.
Затем образуем пару 13a-b, 13a1-b1, получаем 2b, 2b1.

Остались 2 и 5, к ним в пару 4 и 7 уже не возьмёшь. Видимо, где-то ошиблась.

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 04 окт 2015, 13:19

обшиблась
Матрица линейного преобразования в квадрате даёт единичную матрицу, умноженную на -4. От одной пары a и b не получим. Если выбрать две пары и потомков скрещивать, то получается система из 4-х уравнений, полагаю a=1, дальше в целых числах не решается

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 04 окт 2015, 16:12

Моя дурная голова сделала вот это:
$3a-b=c; 13a-3b=d; a=-\frac{3c-d}{4}; b=-\frac{13c-3d}{4}.$
Никак не могу сообразить, как из этого извлечь пользу.

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 04 окт 2015, 16:25

Польза! вся моя полезная, добрая деятельность сёдни парализована... Не удаётся преобразовать 1, вроде все варианты на два преобразования перебрала, ничего в натуральных числах не решается.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 04 окт 2015, 16:52

Вроде как из конечного набора 2; 4; 6; 8 необходимо выделить пары 2 - 6 и 4 - 8, и смешивать их нельзя, потому что сумма принудительно делится на 4, и если это не так, то нет предшественников. Тогда есть шанс поиграть в делюшки на 4, раскручивая ситуацию с конца.

yourdomain.com