Олимпиада НГУ-2013
Добавлено: 13 окт 2013, 08:39
1 курс.
1. Докажите неравенство
2. На окружности заданы точки и . Найдите на окружности такую точку , чтобы периметр треугольника был наибольшим.
3. Найти все натуральные , при которых оба числа и являются кубами натуральных чисел.
4. Докажите, что из различных натуральных чисел, не превосходящих , можно выбрать четыре различных числа , удовлетворяющих равенству
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных , при каждом из которых тоже рационально.
2-4 курсы
1. Интегрируемая по Риману на функция удовлетворяет неравенству Докажите, что на некотором отрезке
2. Пусть на множестве задана бинарная операция , удовлетворяющая тождеству . Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству
3. Докажите, что числа и при взаимно просты.
4. Квадратные матрицы и с вещественными элементами перестановочны и при возведении в квадрат их ранг не меняется. Докажите, что
5. См 5-ю задачу для 1 курса.
1. Докажите неравенство
2. На окружности заданы точки и . Найдите на окружности такую точку , чтобы периметр треугольника был наибольшим.
3. Найти все натуральные , при которых оба числа и являются кубами натуральных чисел.
4. Докажите, что из различных натуральных чисел, не превосходящих , можно выбрать четыре различных числа , удовлетворяющих равенству
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных , при каждом из которых тоже рационально.
2-4 курсы
1. Интегрируемая по Риману на функция удовлетворяет неравенству Докажите, что на некотором отрезке
2. Пусть на множестве задана бинарная операция , удовлетворяющая тождеству . Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству
3. Докажите, что числа и при взаимно просты.
4. Квадратные матрицы и с вещественными элементами перестановочны и при возведении в квадрат их ранг не меняется. Докажите, что
5. См 5-ю задачу для 1 курса.