Putnam 2012

xmaister · Сообщение **xmaister** » 03 дек 2012, 05:00

A1. Пусть $d_1,\ldots ,d_{12}$ - действительные числа открытого интервала $$(1,12)$$

. Докажите, что существуют различные $$i,j,k$$

такие, что $$d_i,d_j,d_k$$

являются длинами сторон остроугольного треугольника.

A2. Пусть $$*$$

- коммутативная ассоциативная бинарная операция на множестве $$S$$

. Предположим, что для всех $x,y\in S$ существует $Z\in S$ такое, что $$x*z=y$$

. Докажите, что если $$a*c=b*c$$

, то

.

A3. Пусть $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ - непрерывная, такая что:
(i) $f(x)=\frac{2-x^2}{2}f\left(\frac{x^2}{2-x^2}\right)$
(ii) $$f(0)=1$$

(iii) $\lim\limits_{x\to 1-}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x}}$ - существует и конечен.

Докажите, что такая $$f$$

- единственна и найдите ее.

A4. Пусть $$q$$

и

- целые числа, причем $$q>0$$

и пусть

и

- интервалы на числовой прямой. Пусть $$T$$

- мнжество всех чисел вида $$b+mq$$

, где

и

- целые чила, такие что $b\in B$ , а $$S$$

- множество всех целых $a\in A$ , Таких что $ra\in T$ . Показать, что если произведение длин $$A$$

и

меньше, чем $$q$$

, то

является пересечением $$A$$

с некоторой арифметической прогрессией.

A5. Пусть $\mathbb{F}_p$ означает поле целых чисел по модулю простого числа $$p$$

и пусть

- некоторое натуральное число. Пусть $$v$$

- фиксированный вектор, принадлежащий $\mathbb{F}_p^n.$ Пусть $$M$$

- матрица $n\times n$ с элементами из $\mathbb{F}_p.$ Определим отображение $G:\mathbb{F}_p^n\to \mathbb{F}_p^n$ формулой $$G(x)=v+Mx.$$

Пусть $G^{(k)}$ обозначает $$k$$

-кратную композицию отображения $$G$$

с самим собой, то есть $G^{(1)}(x)=G(x)$ и $G^{(k+1)}(x)=G(G^{(k)}(x)).$ Найдите все пары $$p,n$$

для которых существуют $$v$$

и

, такие что все $$p^n$$

векторов $G^{(k)}(0),$ $k=1,2,\dots,p^n$ попарно различны.

A6. Пусть $$f(x,y)$$

- непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb{R}^2$ . Предположим, что на каждой прямоугольной области площади 1 двойной интеграл от $$f(x,y)$$

по этой области равен 0. Следует ли отсююда, что $f\equiv 0$ ?

B1. Обозначим через $$S$$

- класс функций $f: [0,\infty)\to [0,\infty)$ , удовлетворяющих следующим условиям:
(i) $$e^x-1$$

и $\ln (x+1)$ принадлежат $$S$$

(ii) Если $f,g\in S$ , то $f+g\in S, f(g)\in S$
(iii) Если $f\ge g$ для всех $x\in [0,\infty)$ , то $f-g\in S$ .
Докажите, что если $f,g\in S$ , то $fg\in S$ .

B4. Пусть $$a_0=1$$

и $a_{n+1}=a_n+e^{-a_n}$ . Сущствует ли предел последовательности $a_n-\ln n$ ?

P.S. Листок с чатью $$B$$

Где-то потерял. Если найду, выложу...

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 03 дек 2012, 06:14

Привет!

B4. $b_n=a_n-\ln n$ , тогда $b_{n+1}=b_n+\ln\frac{n}{n+1}+ne^{-b_n}$ .
Предположим, что $\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=b$ . Тогда $b=b+\lim\limits_{n\to +\infty}ne^{-b_n}$ , что возможно лишь при $\lim\limits_{n\to +\infty}b_n = +\infty$ .

A1. Я не понял Ну пусть $d_j=1+\frac{j}{M}, M>2$ . И что?

A5. Выглядит некорректно. $G=G_{v,M}(x)$ - зависит от $$v,M$$

. При $M=\bar 0$ все $G^{(k)}$ одинаковы. При $M\neq\bar 0$ могут отличаться. При $v=\bar 0$ , если не ошибаюсь, в зависимости от $$M$$

могут получиться все $G^{(k)}$ разные, а может и нет (при $$n=1$$

достаточно брать в качестве $$M$$

образующую $\mathbb{Z}_p$ . Или нет? Тогда же будет только $$p-1$$

разных элементов, а надо $$p$$

... Ну тогда можно взять $$M=1, v$$

- произвольно - будет $$p$$

разных. ).

bot · Сообщение **bot** » 03 дек 2012, 07:32

У меня есть все. Мораторий на выкладывание в сети был до понедельника - срок истёк.

B1 Пусть $$S$$

- класс функций, определенных на $[0,\infty)$ со значениями в $[0,\infty)$ , удовлетворяющий условиям:

(i) Функции $$f_1(x)=e^x-1$$

и $f_2(x)=\ln(x+1)$ принадлежат $$S;$$

(ii) Если

и

принадлежат $$S,$$

то

и

тоже принадлежат $$S;$$

(iii) Если $f(x), \, g(x)$ принадлежат $$S$$

и $f(x)\ge g(x)$ для всех $x\geqslant 0,$ то функция $$f(x)-g(x)$$

принадлежит $$S.$$

Докажите, что если $$f(x)$$

и

принадлежат $$S,$$

то функция $$f(x)g(x)$$

тоже принадлежит $$S.$$

B2 Пусть задан невырожденный многогранник $$P$$

. Докажите, что существует постоянная $$c(P)>0$$

, обладающая следующим свойством: если набор из $$n$$

шаров, объемы которых в сумме составляют $$V,$$

содержит всю поверхность многогранника $$P,$$

то

B3 Однокруговой турнир между $$2n$$

командами продолжается $$2n-1$$

дней. В каждый из дней турнира каждая команда проводит одну игру с другой командой, причем в каждой из $$n$$

игр дня одна из команд выигрывает, а другая проигрывает. В течение турнира каждые две команды играют между собой ровно один раз. Всегда ли можно после завершения турнира выбрать в каждом из дней одну из выигравших команд таким образом, чтобы все выбранные команды оказались различными?

B4 Предположим, что $$a_0=1$$

и $a_{n+1}=a_n+e^{-a_n}$ для $n=0,1,2,\dots.$ Имеет ли последовательность $a_n-\ln n$ конечный предел при $n\to\infty?$

B5 Докажите, что для любых двух ограниченных функций $g_1,g_2 : \mathbb{R}\to[1,\infty),$ существуют функции $h_1,h_2 : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такие, что для любого $x\in\mathbb{R}$ выполняется равенство:

$\sup\limits_{s\in\mathbb{R}}\left(g_1(s)^xg_2(s)\right)=\max\limits_{t\in\mathbb{R}}\left(xh_1(t)+h_2(t)\right).$

B6 Пусть $$p$$

- нечетное простое число, такое что $p\equiv 2\pmod{3}.$ Определим подстановку $\pi$ на классах вычетов по модулю $$p$$

формулой $\pi(x)\equiv x^3\pmod{p}.$ Покажите, что подстановка $\pi$ является четной тогда и только тогда, когда $p\equiv 3\pmod{4}.$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 03 дек 2012, 07:55

Корректная формулировка A5 и A1 есть тут: [url=http://dxdy.ru/topic64944.html]http://dxdy.ru/topic64944.html[/url]

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 03 дек 2012, 09:04

bot писал(а):Source of the post
B1 Пусть - класс функций, определенных на $[0,\infty)$ со значениями в $[0,\infty)$ , удовлетворяющий условиям:

(i) Функции и $f_2(x)=\ln(x+1)$ принадлежат

(ii) Если и принадлежат то и тоже принадлежат

(iii) Если $f(x), \, g(x)$ принадлежат и $f(x)\ge g(x)$ для всех $x\geqslant 0,$ то функция принадлежит

Докажите, что если и принадлежат то функция тоже принадлежит

$e^{f(x)}-1$ принадлежит $$S;$$

принадлежит $$S;$$

$e^{g(x)}-1$ принадлежит $$S;$$

принадлежит $$S;$$

Так как

принадлежит $$S;$$

, то

принадлежит $$S$$

xmaister · Сообщение **xmaister** » 03 дек 2012, 09:30

Спасибо, bot.

Хотелось бы обсудить номер B6. Быть может тут Бернсайд замешан?

xmaister · Сообщение **xmaister** » 03 дек 2012, 13:08

Напишу как решал $$A2$$

:
Для всякого $a\in S$ обозначим $G_a=\{e|e*a=a\}$ .
Теперь докажем, что для всех $a,b\in S$ $G_a\cap G_b\ne\varnothing$ . Существует $x\in S$ , такой что $$a*b*x=a*b$$

, откуда

, значит $x\in G_b$ , аналогично $x\in G_a$ . Теперь, т.к. $$a*c=b*c$$

, $e\in G_a\cap G_b$ и существует $$z$$

, т.ч.

, то

.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 03 дек 2012, 16:16

xmaister, а как у Вас из $$a*b*x=a*b$$

следует

?

B6. не понимаю! Ладно еще смотреть на $p\equiv\pm 1\pmod 4$ . Но зачем брать $$3$$

?! Почему нельзя взять $p,q: q\nmid p-1$ и $\pi(x)=x^q$ . Зачем нужна простота $$p$$

? А зачем нужна простота $$q$$

???
А какой критерий брать для четности подстановки??? Оба свойства совершенно неудобны. Автор меня сильно удивил и озадачил. :blink: :huh:

Я только вижу, если брать $\pi(x)\equiv x^{-1}\pmod n$ , то это - четная перестановка $\Leftrightarrow 4\mid n-1$ (четная по определению). Но тут просто лишь потому, что длина всех циклов равна $$2$$

. А в задаче м.б. циклы вообще любой длины! Вот цикл $$(abcd)$$

. Когда он четный???

xmaister · Сообщение **xmaister** » 03 дек 2012, 16:45

Существует $k\in S$ , такое что $k*a\in G_b$ , откуда...

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 03 дек 2012, 16:46

Ааа, понял, спс

yourdomain.com

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Кто сейчас на форуме