Существует ли...?

JeffLebovski

Существует ли ретракция $\mathbb{S}^5$ на $\mathbb{S}^4$ , где $\mathbb{S}^5=\sum\mathbb{S}^4$ ( $\sum$ - надстройка).

fri739 · Сообщение **fri739** » 07 сен 2012, 13:33

Допустим, что такая ретракция $r:\mathbb{S}^5\to \mathbb{S}^4$ существует. Тогда (по определению ретракции) композиция $r\circ i$ , где $i:\mathbb{S}^4\to\mathbb{S}^5$ - вложение $\mathbb{S}^4$ в $\mathbb{S}^5$ в качестве экватора, равна тождественному отображению $id_{\mathbb{S}^4}$ . Рассматривая четвертые группы гомологий, получаем композицию $H_4(\mathbb{S}^4)\overset{i_*}{\to}H_4(\mathbb{S}^5)\overset{r_*}{\to}H_4(\mathbb{S}^4)$ , которая теперь в свою очередь должна быть равна тождественному морфизму на группе $H_4(\mathbb{S}^4)\simeq \mathbb{Z}$ . Однако, как известно, $H_4(\mathbb{S}^5)=0$ , и следовательно, $r_*\circ i_*=0$ . Противоречие.

yourdomain.com