yourdomain.com

Бесконечное множество, элементами которого являются вещественные числа, обладает тем свойством, что модуль суммы элементов любого его конечного подмножества не превышает 2012.
Следует ли отсюда, что это множество счётно?

Конечно следует.

Ага, следует. Рассмотри сначала только положительные числа. На любом отрезке таких чисел конечное количество, следовательно, их можно занумеровать в порядке убывания. Потом точно также с отрицательными.

Предположим, что данное множество не счётно. Значит, оно имеет предельную точку. Если эта точка отлична от 0, то, начиная с некоторого номера, можно взять конечное число членов подпоследовательности, сумма которых превосходит по модулю 2012.

Пусть несчётное множество имеет предельную точку равную 0, и другой предельной точки нет.
Разобьём всю числовую прямую на ограниченные полуинтервалы. Таких полуинтервалов счётно. В каждом из них содержится только конечное число элементов множества (иначе бы существовала другая предельная точка), кроме полуинтервала, содержащего точку 0.
Будем методом половинного деления разбивать полуинтервал, содержащий 0, на новые полуинтервалы, в каждом будет содержаться только конечное число элементов множества. Объединение счётного количества полуинтервалов с конечным числом элементов счётно, т.е. получаем, что множество счётно.

А че олимпиадного то? У несчетного множества несчетное мноэество преджельных точек --- классическая теорема матана первого курса.

Xenia1996 писал(а):Source of the post
Бесконечное множество, элементами которого являются вещественные числа, обладает тем свойством, что модуль суммы элементов любого его конечного подмножества не превышает 2012.
Следует ли отсюда, что это множество счётно?

Их можно сосчитать, значит множество счетное.

vicvolf писал(а):Source of the post
Их можно сосчитать, значит множество счетное.

Всмысле занумеровать натуральныыми? Ну это определние счетного...