олимпиадное задание

[nichi]

Нам задали прорешать шесть задач по математике, только вот с одной проблемы.
Помогите если возможно хотябы идеей.
Все девятизначные числа, десятичная запись которых содержит все цифры от 1 до 9 по одному разу, выписали в ряд в порядке возрастания. Каждую минуту выбирают наибольшее и наименьшее из них и стирают. Какие два числа будут стёрты последними?
я вот думала первоначально получаем наибольшее число 987654321 а наименьшее 123456789 их сумма получаем 1111111110. И вот такая закономерность наблюдается до конца. А вот что делать дальше?

[kiv]

Source of the post
Нам задали прорешать шесть задач по математике, только вот с одной проблемы.
Помогите если возможно хотябы идеей.
Все девятизначные числа, десятичная запись которых содержит все цифры от 1 до 9 по одному разу, выписали в ряд в порядке возрастания. Каждую минуту выбирают наибольшее и наименьшее из них и стирают. Какие два числа будут стёрты последними?
я вот думала первоначально получаем наибольшее число 987654321 а наименьшее 123456789 их сумма получаем 1111111110. И вот такая закономерность наблюдается до конца. А вот что делать дальше?

Ну, это 549876321 и 561234789, а вот как СТРОГО доказать... Что-то пока точных мыслей нет. наверное, как ближайшие к срединке - т.е. последнее меньшее 555555555 и первое большее?

[vicvolf]

Первый раз выбрали, указанные вами числа, максимальное начинается с 9, а минимальное с 1 (сумма 10). второй шаг минимальное с 1, а второе число 3, а максимальное с 9, а второе 7 и.т.д Очевидно на последнем шаге оба будут начинаться с 5, а дальше думайте!

[nichi]

Это понятно что два последних числа должны начинаться на 5,тк середина 555555555. А может это будут 598764321 и 512346789?

[vicvolf]

Source of the post
А может это будут 598764321 и 512346789?

Нет не может, последнее ближайшее меньшее 555555555 и первое ближайшее большее.

[NT]

Виктор В, эта пара ?
512346789
498765321

[СергейП]

А о чём вообще здесь идёт речь?
Уже во 2-ом посте Kiv дал верный ответ, а доказывать ничего не надо.
Просто можно выбрать все числа и останутся 2 последних.
Сначала уйдут 8! пар чисел, начинающихся на 1 и 9, затем 8! пар чисел на 2 и 8 и т.д.
Останутся 8! чисел на 5.
Затем уйдут 7! пар чмсел, начинающихся на 51 и 59, затем на 52 и 58, 53 и 57.
Остаются числа на 54 и 56. Понятно, что в конце останется наибольшее число, среди всех чисел начинающихся на 54 и наименьшее на 56

[MrDindows]

Source of the post
Это понятно что два последних числа должны начинаться на 5,тк середина 555555555. А может это будут 598764321 и 512346789?

Каждому числу составленному из цифр 1-9, можно сопоставить "противоположное" ему, заменив 1 на 9, 2 на 8, 3 на 7, 4 на 6. Например:
123498765 и 987612345.
В то же время, очевидно, что если какое-то число из пары стоит в списке, например, первое с начала, то противоположное ему - первое с конца, если второе с начала - второе с конца, и тд. Таким образом мы будем каждый раз вычёркивать именно пару "противоположных" чисел. И в конце у нас останутся два противоположных числа, наиболее близких к середине 555555555 ( так как сума любых двух противоположных чисел 1111111110). Значит надо просто найти такое самое близкое число (сверху или снизу) к числу 555555555.
А это легко сделать (будем искать сверху):
Первая цифра 5
Вторая очевидно 6.
Третей цифрой должна быть цифра 1. ( чтоб число было ближе к середине, оно должно быть меньше)
По той же самой причине дальше идут цифры: 234789
Вот значит первое число: 512346789, ну а второе - противоположное ему, 561234789.

недавно такая же задача была на dxdy... она случайно не с онлайн-олимпиады какой-то?

[kiv]

Source of the post
Это понятно что два последних числа должны начинаться на 5,тк середина 555555555. А может это будут 598764321 и 512346789?

Это должны быть два последовательных (в смысле лексикографического порядка) числа, т.к. если между ними есть еще какая-то пара (всего чисел четное количество), то сначала уйдет пара, так сказать, наружная - просто по определению.

Так что, как уже было замечено, когда уйдут числа 51.. и 59.., 52.. и 58.., ......, останутся 54.. и 56.. - их количество одинаково. Так что надо брать большее из 54... и меньшее из 56...

[vicvolf]

Source of the post
недавно такая же задача была на dxdy... она случайно не с онлайн-олимпиады какой-то?

Поэтому ТС в этом случае надо указывать - с какой олимпиады задача и закончилась ли она?