МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
Добавлено: 30 окт 2011, 09:51
ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.
1. Пусть - невырожденная матрица порядка с положительными элементами. Докажите, что количество нулевых элементов матрицы не превосходит .
2. Квадрат разбит на квадраты . В некоторых из маленьких квадратов провели диагонали так, что никакие две не имеют общей точки. Определить максимально возможное число проведённых диагоналей.
3. Непрерывная функция удовлетворяет неравенствам для любых .
Доказать, что
4. Пусть - наибольший корень уравнения при .
Вычислить
5. Для каждого натурального указать многочлен вида все корни которого действительны и положительны. Найти все такие многочлены.
ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.
1'. Найти все многочлены с действительными коэффициентами, удовлетворяющие неравенству для любого .
2'. На окружности по разные стороны диаметра выбрали две точки и . Длины сторон четырёхугольника оказались целочисленными.
Мог ли в таком случае периметр четырёхугольника оказаться простым числом?
3'. Пусть . Доказать, что делится на
4'. Существует ли функция , удовлетворяющая тождеству ?
5'. Вычислить интеграл
Внутренний НГУшный тур см. здесь
1. Пусть - невырожденная матрица порядка с положительными элементами. Докажите, что количество нулевых элементов матрицы не превосходит .
2. Квадрат разбит на квадраты . В некоторых из маленьких квадратов провели диагонали так, что никакие две не имеют общей точки. Определить максимально возможное число проведённых диагоналей.
3. Непрерывная функция удовлетворяет неравенствам для любых .
Доказать, что
4. Пусть - наибольший корень уравнения при .
Вычислить
5. Для каждого натурального указать многочлен вида все корни которого действительны и положительны. Найти все такие многочлены.
ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.
1'. Найти все многочлены с действительными коэффициентами, удовлетворяющие неравенству для любого .
2'. На окружности по разные стороны диаметра выбрали две точки и . Длины сторон четырёхугольника оказались целочисленными.
Мог ли в таком случае периметр четырёхугольника оказаться простым числом?
3'. Пусть . Доказать, что делится на
4'. Существует ли функция , удовлетворяющая тождеству ?
5'. Вычислить интеграл
Внутренний НГУшный тур см. здесь