Икс и игрек

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 01 ноя 2010, 09:57

a) Найти 2 натуральных числа х и у таких, что $$xy+x$$

и

являются квадратами различных натуральных чисел.
б) Можно ли найти такие х и у в пределах от 988 до 1991?

Попытка решения:
Пункт a) решила влёгкую: $$x=1, y=8$$

.
Пункт б) попытаюсь здесь:
Если х и у лежат в пределах от 988 до 1991, то наименьшее из чисел $$xy+x$$

и

(без ограничения общности, пусть это будет первое из них) не меньше, чем $$988^2$$

, a значит расстояние до ближайшего квадрата превышает 1800. Ho расстояние до ближайшего квадрата не должно быть больше $$y-x$$

, a значит, не больше $$1991-988=1003$$

.
Если я ничего не упустила, то приходим к противоречию. Если же упустила, пожалуйста, поправьте. Заранее благодарна!

Георгий

Самые близкие числа: x=288 и y=1681

И еще 3 пары, в которых одно из чисел попадает в заданный интервал:

8 и 1681
16 и 1088
80 и 1444

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 01 ноя 2010, 10:44

Георгий писал(а):Source of the post
Самые близкие числа: x=288 и y=1681

Как Вы их нашли?
Напишите об этом, пожалуйста.

A в моём решении есть ошибки?

Георгий

Составил простую прогу на Yabasic

for x=1 to 2500
for y=1 to 2500
r1=sqrt(x*y+x):r2=sqrt(x*y+y)
if r1=int(r1) and r2=int(r2) then print x,y:fi
next y
next x

Рассуждения Ваши на мой взгляд верные.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 01 ноя 2010, 11:05

Георгий писал(а):Source of the post
Составил простую прогу на Yabasic

for x=1 to 2500
for y=1 to 2500
r1=sqrt(x*y+x):r2=sqrt(x*y+y)
if r1=int(r1) and r2=int(r2) then print x,y:fi
next y
next x

Рассуждения Ваши на мой взгляд верные.

A без проги есть вариант?

Георгий

Без проги - если только научиться решать в общем виде диофантовы уравнения. Вот найдите общую формулу для x и y из системы:

$\left {xy + x = k^2$
$\\xy + y = m^2 \right$

- тогда все будет хорошо

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 01 ноя 2010, 12:13

Георгий писал(а):Source of the post
Без проги - если только научиться решать в общем виде диофантовы уравнения. Вот найдите общую формулу для x и y из системы:

$\left {xy + x = k^2$
$\\xy + y = m^2 \right$

- тогда все будет хорошо

Вот что выдала Альфа: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%2Bx%3Dk^2+and+xy%2By%3Dm^2][url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%2B...nd+xy%2By%3Dm^2]http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%2B...nd+xy%2By%3Dm^2[/url][/url]

Георгий

Вольфрам дал общее решение, но не целочисленное. Увы.
A те целочисленные решения, что дал в самом низу - лишь тривиальные.
Наверное, в книгах по дискретной математике решение имеется, но думаю - оно очень непростое.

вот первые 11 решений (по возрастанию x):
1 ... 8
1 ... 288
4 ... 80
8 ... 49
8 ... 1681
9 ... 360
16 ... 1088
25 ... 2600
49 ... 288
80 ... 1444
288 ... 1681

Связь трудно уловить, хотя многие числа повторяются.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 01 ноя 2010, 12:20

Георгий писал(а):Source of the post
Вольфрам дал общее решение, но не целочисленное. Увы.
A те целочисленные решения, что дал в самом низу - лишь тривиальные.

Я добавила "over the integers", но что-то пошло не так
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%2Bx%3Dk^2+and+xy%2By%3Dm^2+over+the+integers][url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%2B...er+the+integers]http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%2B...er+the+integers[/url][/url]

Георгий

да... решается почему-то хвостик уравнения...

Я и так попробовал:
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28y...er+the+integers]http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28y...er+the+integers[/url]
но Вольфрамчик не справляется

Распишу подробней

x ...... y ...... k ...... m
1 ...... 8 ...... 3 ...... 4
1 ....288 ..... 17 ......24
4 .....80 ......18 ......20
8 .....49 ......20 ......21
8 ...1681 ....116 .....123
9 ....360 ..... 57 ...... 60
16 ..1088 .... 132 .....136
25 ..2600 .... 255 .....260
49 ...288 .... 119 ..... 120
80 ..1444 .... 340 ..... 342
288..1681 .... 696 ..... 697

тут вот что для X и Y интересно: $\sqrt{8+1}=3 \,\,\, , \,\,\, \sqrt{80+1}=9 \,\,\, , \,\,\, \sqrt{288+1}=17$
$\sqrt{360+1}=19 \,\,\, , \,\,\, \sqrt{1088+1}=33 \,\,\, , \,\,\, \sqrt{2600+1}=51$

To есть, если X является полным квадратом, до Y не дотягивает на 1 до полного квадрата и наоборот.

Возможно, между 4-мя параметрами x, y, k, m существует алгебраическая связь, как это обнаружено для пифагоровых троек. $$x^2+y^2=z^2$$

где $\,\,\, x=a^2-b^2 \,\,\, , \,\,\, y=2ab \,\,\, , \,\,\, z=a^2+b^2$

yourdomain.com