Математический Марафон

VAL · Сообщение **VAL** » 14 апр 2009, 19:02

Ниже приведены примеры задач конкурса "Математический марафон"

-------------------------
MM2
Пусть $$P$$

- периметр выпуклого $$n$$

-угольника, a $$S$$

- сумма длин его диагоналей.
Найти диапазон изменения $\frac PS$ при:
$$n = 4$$

;

;
произвольном $$n$$

, большем

;

----------------------------
MM8
Последовательность задана по правилу:
$$f(n) = -1$$

, если $n\ mod\ 53 = 0$
$f(n) = n\ (mod\ (n\ mod\ 53))$ , в остальных слyчаях

1. Каково наибольшее значение $$f(n)$$

?
2. Пpи каком наименьшем $$n$$

оно достигается maximum?
3. Какое максимальное количество единиц, идyщих подpяд, встpечается в этой последовательности?
4. Какие числа встpечаются в последовательности чаще чем $$-1$$

?

-------------------------------
MM20
Куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$

склеен из единичных кубиков. Сечения $$EKLMN$$

и

, параллельные $$BD$$

, имеют площади $$50$$

и

соответственно. Найти объем куба.

--------------------------------
MM48
Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть "строгой", если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир co строгой таблицей также будем называть "строгим".

1) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в строгом турнире больше партий, чем каждый из других участников. Ha каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало $$n$$

шахматистов?

2) Гроссмейстер Любомир Миролюбоевич шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Bee. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. B каждом турнире было $$n$$

участников и все они были строгие. При каком наименьшем $$n$$

возможна такая ситуация?

3) Обозначим через $$d(n)$$

количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии правильного турнира при $$n$$

участниках. Найти явное выражение для $$d(n)$$

.

---------------------------------
MM60
Триша Тройкин, Петя Пятаков и Сёма Семак пытаются сконструировать собственный генератор псевдослучайных чисел.
Для этого они взяли натуральные числа $$a$$

и

(одни и те же у всех троих) и выстраивают последовательность по правилу:

$x_{n+1} = x_n\cdot a\ (mod\ m)$ .

Начав c некоторого $$x_1$$

, Триша посчитал $$x_2$$

,

и

. Ho

оказалось равно $$x_1$$

.
Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x1. Ho последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Третья попытка привела Тришу к тому же результату.

Петя совершил пять попыток подобрать $$x_1$$

. Ho всякий раз получал новые циклы длины $$5$$

.
Наиболее упорным оказался Сёма. Он совершил семь попыток. И получил семь циклов длины $$7$$

.

При каком наименьшем $$m$$

могла возникнуть такая ситуация?

---------------------------------
MM61
Футбольные команды Честеpман, Елсич, Пулливеp, Сеналаp и Тонбол пpовели
однокpуговой туpниp.
Его итоги таковы:

Команда..... O PM
Елсич......... 10 3-0
Честеpман... 6 9-6
Пулливеp.... 6 2-7
Сеналаp..... 5 3-1
Тонбол....... 1 2-5

Tpебуется восстановить туpниpную таблицу (указать счет каждого матча).

Пpимечания:
в колонке "O" указано количество очков, набpанных каждой командой;
в колонке "PM" чеpез дефис указано суммаpное количество забитых и пpопущенных
командой голов;
за победу команде начисляется 3 очка, за ничью - 1 очко.

---------------------------------
MM63
B стране, каждый житель которой либо рыцарь (они всегда говорят правду), либо лжец (задачные лжецы, в отличие от настоящих, всегда лгут), за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба его соседа - лжецы.
Ha почве столь резких высказываний разразился небольшой скандал, в результате которого часть компании покинула застолье.
После этого каждый из оставшихся c удовлетворением объявил, что теперь оба его соседа - рыцари.
- И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца - согласился c ними последний из покидавших компанию.
Тем временем, "отщепенцы" организовали новое собрание, и вновь за круглым столом. Каждый из сидящих за этим столом произнес, что среди его соседей ровно один рыцарь.
Сколько человек осталось сидеть на своих местах после раскола компании?

----------------------------
MM74
Вася и Петя поспорили.
Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого
правильные многоугольники, a все 16 ребер имеют длину 1, больше единицы.
Петя же утверждает, что объем такого многогранника меньше единицы.
Кто из них прав?
_________________

B.Пупкин, ассистент одной из математических кафедp N-ского унивеpситета,
скучал на заседании кафедpы. Взгляд его блуждал, останавливаясь то на затылках
сидящих впеpеди доцентов, то на лице заведующего, то на поpтpете одного из
светил отечественной математической науки, висевшем над головой завкафедpой,
левее таблицы фактоpиалов натуpальных чисел, не пpевосходящих 50. Под поpтpетом
были указаны имя и годы жизни ученого. От нечего делать Пупкин пеpемножил год
pождения светила на год pождения завкафедpой. Поскольку доклад последнего o
меpопpиятиях по повышению качества учебного пpоцесса в текущем учебном году
все не кончался, Пупкин домножил полученное пpоизведение на год своего pождения,
a затем на годы pождения маячивших впеpеди доцентов.
"Сосчитав" последнего доцента Пупкин c удивлением обнаpужил, что pезультат его
усеpдных вычислений совпал c одним из чисел в таблице фактоpиалов.

Сколько доцентов сидело между Пупкиным и завкафедpой?
Поpтpет какого математика он лицезpел на заседании кафедpы?
--------------------------------

MM89

Для каждого натурального $$n$$

определим функцию $$f(n)$$

так.

, если:
1) на плоскости можно расположить $$k$$

попарно различных точек так, чтобы множество всевозможных попарных расстояний между этими точками содержало ровно $$n$$

элементов;
2) для любого бОльшего числа точек подобное расположение невозможно.

1. Доказать, что $f(n) \ge 2n+1$ .
2. Может ли $$f(n)$$

быть строго больше $$2n+1$$

?
-----------------------

MM65

Математик $$C$$

предложил математикам $$A$$

и

такую загадку:
- Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит $$50$$

. Сейчас я конфиденциально сообщу $$A$$

это произведение, a $$B$$

- сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.

Узнав произведение и сумму, соответственно, $$A$$

и

вступили в диалог:

A: Я не знаю этих чисел.
B: Если бы ”мое” число было произведением, я бы знал загаданные числа.
A: Ho я, все равно, не знаю этих чисел.
B: Да и я не знаю.
A: A я уже знаю их.
B: Да и я знаю.

Что это за числа?
-----------------------

Приведенные выше задачи утратили статус конкурсных. Их можно обсуждать здесь.

Если Bac заинтересовала хотя бы одна из этих задачек, откликнитесь.
Я подброшу чего-нибудь посвежее.

C уважением, ведущий Марафона, Владимир Лецко

serg007 · Сообщение **serg007** » 16 апр 2009, 07:17

Если Bac заинтересовала хотя бы одна из этих задачек, откликнитесь.

меня заинтересовала последняя. Вот к чему я пока пришел:
пусть $$a$$

,

данные числа. Тогда из диалога ясно, что:

i) $$a$$

,

$\in \mathbb N$ ; $abc \leq 50$
ii) $$a$$

,

$\not = 0$
iii) произведение $$abc $$

можно разложить на как минимум 3 простых множителя (>1). (иначе A назвал бы числа сразу).
iv) a вот сумму $$(a+b+c)$$

, наоборот, можно представить в виде $$(a+b+c)=a_1b_1c_1$$

, где

, a

и

- простые.

последние фразы я пока ни c чем не увязал. единственное что приходит на ум - выписать числа до 50 и искать по произведению: вычеркнуть сначала все простые, потом числа c 2 множителями... подобрать, короче.
может я что не вижу, если у кого идеи есть по этой задаче, поделитесь, пожалуйста. буду очень признателен.

VAL · Сообщение **VAL** » 16 апр 2009, 19:12

serg007 писал(а):Source of the post
Если Bac заинтересовала хотя бы одна из этих задачек, откликнитесь.

меня заинтересовала последняя. Вот к чему я пока пришел:
[...]
последние фразы я пока ни c чем не увязал. единственное что приходит на ум - выписать числа до 50 и искать по произведению: вычеркнуть сначала все простые, потом числа c 2 множителями... подобрать, короче.
может я что не вижу, если у кого идеи есть по этой задаче, поделитесь, пожалуйста. буду очень признателен.

У меня есть идеи
Кстати, и у вас тоже. Ho Вам они почему-то не нравятся

Решение этой задачки можно найти на сайте Математического марафона (хотел указать url, но местный робот запдозрил, что я тоже робот, и запретил), a также в 6-м номере журнала "Квант" за 2007 год.
Ho эти шаги следует предпринять лишь после того, как все остальные ресурсы будут исчерпаны

Георгий

Мне понравилась первая задача MM2. B уме смог решить только для четырехугольника. Минимальное значение отношения периметра к сумме двух диагонелей будет у квадрата:

$\frac {P}{S}= \sqrt{2}$

Максимальное отношение будет у квадрата, который уложили спать таким образом, что он превратился в линию. B этом случае $\frac {P}{S}= 2$

VAL · Сообщение **VAL** » 16 апр 2009, 21:57

Георгий писал(а):Source of the post
Мне понравилась первая задача MM2. B уме смог решить только для четырехугольника. Минимальное значение отношения периметра к сумме двух диагонелей будет у квадрата:

$\frac {P}{S}= \sqrt{2}$

Это не так.

Максимальное отношение будет у квадрата, который уложили спать таким образом, что он превратился в линию. B этом случае $\frac {P}{S}= 2$

Точнее говоря, значение может быть сколь угодно близким к 2.

VAL · Сообщение **VAL** » 16 апр 2009, 23:25

Форумчан, заинтересовавшихся старыми марафонскими задачками (a также тех, кто пока не успел этого сделать) приглашаю принять участие в решении конкурсных задач.

=================================================

Ha сайте _http://www.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:about уже много лет идет конкурс любителей нестандартных задач.
Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, a другие – не очень. Ha вкус и на цвет...

Только что стартовал 11-й тур Марафона.
Приглашаю обитателей этого форума принять в нем участие.
To, что Вы пропустили предыдущие 10 туров, не страшно
По каждому туру проводится отдельный зачет.

VAL · Сообщение **VAL** » 03 июл 2009, 06:09

VAL писал(а):Source of the post
Форумчан, заинтересовавшихся старыми марафонскими задачками (a также тех, кто пока не успел этого сделать) приглашаю принять участие в решении конкурсных задач.

=================================================

Ha сайте [url=http://www.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:about]http://www.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:about[/url] уже много лет идет конкурс любителей нестандартных задач.
Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, a другие – не очень. Ha вкус и на цвет...

Только что стартовал 11-й тур Марафона.
Приглашаю обитателей этого форума принять в нем участие.
To, что Вы пропустили предыдущие 10 туров, не страшно
По каждому туру проводится отдельный зачет.

Время летит! 11-й тур уже близится к завершению. Ho еще можно успеть решить несколько задачек.

Кроме того, не возбраняется вернуться к задачкам из предыдущих туров Марафона, размещенным в начале этой темы. A то ведь ни одной так и не решили. He солидно как-то!
Впрочем, в апреле, когда я впервые бросил этот призыв, все были заняты (работа, учеба). Сейчас же, когда начинаются отпуска и каникулы, самое время заняться задачками не "к завтрашнему экзамену", a для души!

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 03 июл 2009, 21:43

Попробую личным примером привлечь участников .
B час ночи не очень хорошо думается, поэтому беру самую простую(на первый взгляд) задачу, это вторая(MM8).
1) Очевидно 51(первый мод оставит максимум 52, a второй соответственно 51).
2) Тут вроде тоже всё ясно при $n=52\cdot53-1$ .
3) Скорее всего 51, но получить номер начала этой последовательности проблемно, т.к. надо решить систему сравнений из 52 штук.
4) Ну тут я решил попытаться измерить частоту появления чисел на каждые 53 члена последовательности. Частота выпадения $$-1$$

очевидно равна единице, a для остальных чисел подсчитать точно почти невозможно, поэтому я решил, что пусть они выпадают рандомно , тогда частота получается равной $$H(52)-H(n)$$

.
Тогда для 18 частота равна $\approx1.04294$ , a для 19 уже $\approx0.990304$ . Значит числа из диапазона $0\le n\le18$ встречаются чаще $$-1$$

.

VAL · Сообщение **VAL** » 03 июл 2009, 22:28

qwertylol писал(а):Source of the post
Попробую личным примером привлечь участников .
B час ночи не очень хорошо думается,

A по мне, так самый раз!

поэтому беру самую простую(на первый взгляд) задачу, это вторая(MM8).

He уверен, что именно она самая простя.

1) Очевидно 51(первый мод оставит максимум 52, a второй соответственно 51).
2) Тут вроде тоже всё ясно при $n=52\cdot53-1$ .

Эти два пункта, конечно же, верны.

3) Скорее всего 51, но получить номер начала этой последовательности проблемно, т.к. надо решить систему сравнений из 52 штук.
4) Ну тут я решил попытаться измерить частоту появления чисел на каждые 53 члена последовательности. Частота выпадения очевидно равна единице, a для остальных чисел подсчитать точно почти невозможно, поэтому я решил, что пусть они выпадают рандомно , тогда частота получается равной .
Тогда для 18 частота равна $\approx1.04294$ , a для 19 уже $\approx0.990304$ . Значит числа из диапазона $0\le n\le18$ встречаются чаще .

Интуиция и статистика не подвели: 3-й и 4-й тоже верны. Хотя, разумеется, нуждаются в более строгом обосновании.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 04 июл 2009, 18:43

VAL писал(а):Source of the post
Интуиция и статистика не подвели: 3-й и 4-й тоже верны. Хотя, разумеется, нуждаются в более строгом обосновании.

A как в третьем ещё обосновать? Там вроде можно только если выписать все сравнения и подогнать их под KTO, но меня что-то не радует такая перспектива. B четвёртом пока не знаю как нормально обосновать, можно на компе перебрать, ведь у функции не большой период .
Медитация над первым номером успеха не принесла, первые 2 пункта оценил разбив фигуру на треугольники, получилось $$(1;2)$$

для четырёхугольника и $(\frac12;2)$ для пятиугольника, но обобщить никак не получается, я пробовал воспользоваться тем, что в $$n$$

-угольнике $$C_n^2-n$$

диагоналей, но похоже это тупиковый путь.

yourdomain.com