Страница 1 из 1
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 14 янв 2008, 14:16
Zwinner
1. a,b,c - неотрицательные числа. Доказать, что
![$$ ab+bc+ac \geq \sqrt {3abc(a+b+c)} $$ $$ ab+bc+ac \geq \sqrt {3abc(a+b+c)} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20ab%2Bbc%2Bac%20%5Cgeq%20%5Csqrt%20%7B3abc%28a%2Bb%2Bc%29%7D%20%24%24)
2. Найти углы остроугольного треугольника ABC, если известно, что его биссектриса AD равна стороне AC и перпиндекулярна отрезку OH, где OH - центр описанной окружности, H - точка пересечения высот треугольника ABC.
3. Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше одной) групп c равными суммами. Доказать, что групп - чётное число.
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 14 янв 2008, 15:27
Xela-ru
Zwinner писал(а):Source of the post 1. a,b,c - неотрицательные числа. Доказать, что
![$$ ab+bc+ac \geq \sqrt {3abc(a+b+c)} $$ $$ ab+bc+ac \geq \sqrt {3abc(a+b+c)} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20ab%2Bbc%2Bac%20%5Cgeq%20%5Csqrt%20%7B3abc%28a%2Bb%2Bc%29%7D%20%24%24)
3. Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше одной) групп c равными суммами. Доказать, что групп - чётное число.
1. Возведём обе части неравенвтва в квадрат дальше получаем простое неравенство
![$$ x^2 +y^2 + z^2\geq xy + yz + zx$$ $$ x^2 +y^2 + z^2\geq xy + yz + zx$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20x%5E2%20%2By%5E2%20%2B%20z%5E2%5Cgeq%20xy%20%2B%20yz%20%2B%20zx%24%24)
3. Сумма во всех группах = 127 * 64 если доказать что на 127 групп c равными суммами разбить нельзя то утверждение доказано Ha 127 групп разбить нельзя т к иначе число 127 не попадёт ни в одну из групп
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 14 янв 2008, 17:14
Zwinner
1.Ну не особо то и простое (все равно надо доказывать),распиши пожалуйста возведение в квадрат c последующим приведением (a то я где-то в вычислениях ощибся, теперь не пойму где).
3.B принципе я так и думал, хотя не мог точно оформить.
2. ?
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 14 янв 2008, 18:36
Krrechet
![$$ ab+bc+ac \geq \sqrt {3abc(a+b+c)}\\(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\ge 3ab^2c+3a^2bc+3abc^2\\(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2\ge ab^2c+a^2bc+abc^2$$ $$ ab+bc+ac \geq \sqrt {3abc(a+b+c)}\\(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\ge 3ab^2c+3a^2bc+3abc^2\\(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2\ge ab^2c+a^2bc+abc^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20ab%2Bbc%2Bac%20%5Cgeq%20%5Csqrt%20%7B3abc%28a%2Bb%2Bc%29%7D%5C%5C%28ab%29%5E2%2B%28ac%29%5E2%2B%28bc%29%5E2%2B2ab%5E2c%2B2a%5E2bc%2B2abc%5E2%5Cge%203ab%5E2c%2B3a%5E2bc%2B3abc%5E2%5C%5C%28ab%29%5E2%2B%28ac%29%5E2%2B%28bc%29%5E2%5Cge%20ab%5E2c%2Ba%5E2bc%2Babc%5E2%24%24)
Как и написано во втором сообщении, удобно сделать замену:
![$$x=ab\ge 0\\y=bc\ge 0\\z=ac\ge 0$$ $$x=ab\ge 0\\y=bc\ge 0\\z=ac\ge 0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3Dab%5Cge%200%5C%5Cy%3Dbc%5Cge%200%5C%5Cz%3Dac%5Cge%200%24%24)
Тогда:
![$$x^2+y^2+x^2\ge xy+xz+yz$$ $$x^2+y^2+x^2\ge xy+xz+yz$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%2By%5E2%2Bx%5E2%5Cge%20xy%2Bxz%2Byz%24%24)
Ну дальше все просто, рассмотрим квадратный многочлен относительно
![$$y$$ $$y$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%24%24)
например:
![$$y^2-(x+z)y+x^2+z^2-xz\\D=(x+z)^2-4x^2-4z^2+4xz=-3(x-z)^2\le 0$$ $$y^2-(x+z)y+x^2+z^2-xz\\D=(x+z)^2-4x^2-4z^2+4xz=-3(x-z)^2\le 0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%5E2-%28x%2Bz%29y%2Bx%5E2%2Bz%5E2-xz%5C%5CD%3D%28x%2Bz%29%5E2-4x%5E2-4z%5E2%2B4xz%3D-3%28x-z%29%5E2%5Cle%200%24%24)
T.e. нет корней и верно нер-во:
![$$y^2-(x+z)y+x^2+z^2-xz\ge 0$$ $$y^2-(x+z)y+x^2+z^2-xz\ge 0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%5E2-%28x%2Bz%29y%2Bx%5E2%2Bz%5E2-xz%5Cge%200%24%24)
![$$x^2+y^2+x^2\ge xy+xz+yz$$ $$x^2+y^2+x^2\ge xy+xz+yz$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%2By%5E2%2Bx%5E2%5Cge%20xy%2Bxz%2Byz%24%24)
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 14 янв 2008, 19:56
Zwinner
Помогите решить 2-ой пример. Я не могу понять для чего нужна перпиндекулярность, a то данных не хватает.
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 16 янв 2008, 17:33
Zwinner
ПРобую продолжить до паралеллограма, но не помогает.
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 16 янв 2008, 18:41
Solaris
OH - центр описанной окружности
это как? центр - это точка, он - отрезок, или я чего-то не понимаю..
несколько олимпиадных задач
Добавлено: 17 янв 2008, 17:10
Zwinner
Нет, это опечатка, но я уже не могу изменить. Вообще-то не OH, a O.