Задачи для команды 1

Soul · Сообщение **Soul** » 06 июл 2007, 02:44

1. Решить уравнение
$a\sqrt{x-b^2-c^2}+b\sqrt{x-c^2-a^2}+c\sqrt{x-a^2-b^2}=a^2+b^2+c^2$

2 Гусеница ползет 6 минут по прямой в одном направлении. B любой момент времени в течении этих шести минут всегда найдется хотя бы один наблюдатель, который следит за гусеницей. До этих шести минут и после шести минут НИКТО за гусеницой не наблюдает. Каждый из наблюдателей следил за гусеницой POBHO одну минуту (непрерывно, без пробелов) и после этого сказал, что гусеница за время его наблюдения проползла ровна 1 метр.
Найти минимальное и максимальное расстояние, которая может проползти гусеница.

3. B клетках квадратной таблицы 3*3 расставлены знаки "+" и "-"

$\begin{array}{|l|c|r|} \hline \\+ & + & - \\ \hline \\ - & - & + \\ \hline - & + & - \\ \hline \end{array}$

Разрешается заменить в любом столбце или строку все знаки на противоположные. Можно ли,

повторяя эту процедуру несколько раз, получить таблицу

$\begin{array}{|l|c|r|} \hline \\- & + & + \\ \hline \\ + & + & - \\ \hline - & + & - \\ \hline \end{array}$

4. После нескольких операций дифференцирования и умножения на
$$1+x$$

, выполненных в произвольном порядке, многочлен $$x^8+x^7$$

превратился в $$ax+b$$

. Доказать, что
$$a-b$$

делится на 49

5. Дно прямоугольной коробки замостили плитками размерами 1*4 и 2*2. Плитки высыпали и потеряли одну плитку размером 2*2. Вместо нее нашли плитку размером 1*4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

6. Ha отрезке $0\le x\le1$ задана функция $$f$$

. Известно, что эта функция неотрицательна, и $$f(1)=1$$

. Кроме того, для любых двух чисел $$x_1$$

и

таких, что $x_1\ge0$ , $x_2\ge0$ , $x_1+x_2\le1$ выполнено неравенство $f(x_1+x_2)\ge f(x_1)+f(x_2)$
a) докажите, что какова бы ни была функция f, удовлетворяющая перечисленным условиям, для всех $x\in[0;1]$ выполняется неравенство $f(x)\le 2x$
б) Верно ли, что для всех $x\in[0;1]$ выполняется $f(x)\le 1.9x$ ?

Участники:
Андрей (зюптик)
AV_77
Pavlovsky
Angerran

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 06 июл 2007, 08:41

Ура. Участники команды, пожалуйста отписывайтесь кто какую задачу решает. Наверно можно сообщать и промежуточные результаты.
Я пока буду решать по порядку начиная c номера №1

Krrechet c нами?
AV_77 играет или нет?

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 06 июл 2007, 09:46

1. Решить уравнение
$a\sqrt{x-b^2-c^2}+b\sqrt{x-c^2-a^2}+c\sqrt{x-a^2-b^2}=a^2+b^2+c^2$
есть мнение, что
$$x=a^2+b^2+c^2$$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 июл 2007, 11:03

Я дико извиняюсь, в условии задачи №5 опечатка, должно быть так:
5. Дно прямоугольной коробки замостили плитками размерами 1*4 и 2*2. Плитки высыпали и потеряли одну плитку размером 2*2. Вместо нее нашли плитку размером 1*4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 06 июл 2007, 12:57

Pavlovsky писал(а):Source of the post
Ура. Участники команды, пожалуйста отписывайтесь кто какую задачу решает. Наверно можно сообщать и промежуточные результаты.
Я пока буду решать по порядку начиная c номера №1

Krrechet c нами?
AV_77 играет или нет?

Нет я не c вами, мы c Андреем(зюптиком) решили, что я во второй команде....

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 06 июл 2007, 13:22

Нет я не c вами, мы c Андреем(зюптиком) решили, что я во второй команде....

OK удачи!

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 июл 2007, 13:37

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Я дико извиняюсь, в условии задачи №5 опечатка, должно быть так:
5. Дно прямоугольной коробки замостили плитками размерами 1*4 и 2*2. Плитки высыпали и потеряли одну плитку размером 2*2. Вместо нее нашли плитку размером 1*4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

O, так значительно лучше!!! По-моему знаю как решить!

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 июл 2007, 13:51

5. Дно прямоугольной коробки замостили плитками размерами 1*4 и 2*2. Плитки высыпали и потеряли одну плитку размером 2*2. Вместо нее нашли плитку размером 1*4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

Люди, видел подобное, сейчас покажу, что надумал:
Сделаем рисунок. Плитка 1*4 покрывает либо 0 чёрных клеток, либо 2 чёрные клетки; плитка 2*2 покрывает только одну черную клетку (как бы мы её не поставили). Значит сколько бы мы не поставили плиток 2*2, у нас столько же будет закрыто чёрных клеток. A раз мы заменили 2*2 на 1*4, то число закрытых чёрных клеток плиткой 1*4 уже не будет равняться числу закрываемых бы чёрных клеток плиткой 2*2. Отсюда следует, что дно мы не заложим.
Хотя можно, разбамбив какую-нибудь плитку! (Это конечно же шутка, плитки, вроде, по-заданию, бить нельзя!

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 06 июл 2007, 13:59

Задача №6
$x_1+x_2\le1$ выполнено неравенство $f(x_1+x_2)\ge f(x_1)+f(x_2)$

Для $\sum_{i=1}^{n}{x_i}\le1$ выполнняется неравенство $\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)}\le f(\sum_{i=1}^{n}{x_i})$

Для $\sum_{i=1}^{n}{x_i}=1$ выполнняется неравенство $\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)}\le1$

Для $$n*x=1$$

выполнняется неравенство $n{f(x)}\le1$

то есть выполнняется неравенство ${f(\frac {1} {n})}\le\frac {1} {n}$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 июл 2007, 14:29

№3 Люди, есть идея!!!
посмотрите на 4 клеточки в левом углу 1 рисунка, число плюсов 2
в этом же углу, но во 2 рисунке число плюсов 3
Так как вначале (я говорю o 1 рисунке) было чётное количество плюсов, то оно будет по жизни оставаться таким.

yourdomain.com