Подстановкой или нет?

snickers · Сообщение **snickers** » 04 июн 2007, 17:08

$\frac{x^3+1}{2} = \sqrt[3]{2x-1}$

Тут замечено такое, что если взять $t=\frac{x^3+1}{2}$ , то X выраженный из этой подстановки будет являться правой частью уравнения.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 04 июн 2007, 17:45

Я бы решал так:
$\frac {x^3+1} {2}=\sqrt[3]{2x-1}$
произведём замены, и сделаем систему
$\{\frac {x^3+1} {2}=t\\2x-1=t^3$
$x=\frac {-1-\sqrt{5}} {2}\\x=\frac {-1+\sqrt{5}} {2}\\x=1$
решить наверное сами сможете!!!

Natrix · Сообщение **Natrix** » 04 июн 2007, 21:50

snickers писал(а):Source of the post
$\frac{x^3+1}{2} = \sqrt[3]{2x-1}$

Тут замечено такое, что если взять $t=\frac{x^3+1}{2}$ , то X выраженный из этой подстановки будет являться правой частью уравнения.

Совершенно верно, и, поэтому уравнение эквивалентно

$\frac{x^3+1}{2}=x\\x^3-2x+1=0\\x^3-x-(x-1)=0\\x(x-1)(x+1)-(x-1)=0\\x_1=1\\x^2-x-1=0\\x_{2,3}=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

andrej163 писал(а):Source of the post
Я бы решал так:
$\frac {x^3+1} {2}=\sqrt[3]{2x-1}$
произведём замены, и сделаем систему
$\{\frac {x^3+1} {2}=t\\2x-1=t^3$
$x=\frac {-1-\sqrt{5}} {2}\\x=\frac {-1+\sqrt{5}} {2}\\x=1$
решить наверное сами сможете!!!

Что-то ты c системой лишнего понаписал...

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 04 июн 2007, 21:52

Natrix писал(а):Source of the post
snickers писал(а):Source of the post
$\frac{x^3+1}{2} = \sqrt[3]{2x-1}$

Тут замечено такое, что если взять $t=\frac{x^3+1}{2}$ , то X выраженный из этой подстановки будет являться правой частью уравнения.

Совершенно верно, и, поэтому уравнение эквивалентно

$\frac{x^3+1}{2}=x\\x^3-2x+1=0\\x^3-x-(x-1)=0\\x(x-1)(x+1)-(x-1)=0\\x_1=1\\x^2-x-1=0\\x_{2,3}=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

andrej163 писал(а):Source of the post
Я бы решал так:
$\frac {x^3+1} {2}=\sqrt[3]{2x-1}$
произведём замены, и сделаем систему
$\{\frac {x^3+1} {2}=t\\2x-1=t^3$
$x=\frac {-1-\sqrt{5}} {2}\\x=\frac {-1+\sqrt{5}} {2}\\x=1$
решить наверное сами сможете!!!

Что-то ты c системой лишнего понаписал...

He совсем понял, o чём ты!!!!! Поясни???

Natrix · Сообщение **Natrix** » 04 июн 2007, 22:44

andrej163 писал(а):Source of the post
Natrix писал(а):Source of the post
snickers писал(а):Source of the post
$\frac{x^3+1}{2} = \sqrt[3]{2x-1}$

Тут замечено такое, что если взять $t=\frac{x^3+1}{2}$ , то X выраженный из этой подстановки будет являться правой частью уравнения.

Совершенно верно, и, поэтому уравнение эквивалентно

$\frac{x^3+1}{2}=x\\x^3-2x+1=0\\x^3-x-(x-1)=0\\x(x-1)(x+1)-(x-1)=0\\x_1=1\\x^2-x-1=0\\x_{2,3}=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

andrej163 писал(а):Source of the post
Я бы решал так:
$\frac {x^3+1} {2}=\sqrt[3]{2x-1}$
произведём замены, и сделаем систему
$\{\frac {x^3+1} {2}=t\\2x-1=t^3$
$x=\frac {-1-\sqrt{5}} {2}\\x=\frac {-1+\sqrt{5}} {2}\\x=1$
решить наверное сами сможете!!!

Что-то ты c системой лишнего понаписал...

He совсем понял, o чём ты!!!!! Поясни???

Неочевидно, как дальше решать исходя из твоей системы.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 04 июн 2007, 22:47

Natrix писал(а):Source of the post
Неочевидно, как дальше решать исходя из твоей системы.

Да, система не из лёгких, но спокойно решается!!!

Natrix · Сообщение **Natrix** » 04 июн 2007, 22:52

andrej163 писал(а):Source of the post
Natrix писал(а):Source of the post
Неочевидно, как дальше решать исходя из твоей системы.

Да, система не из лёгких, но спокойно решается!!!

Ой, покажи решение. Система впрямую сводится к уравнению 9 степени. И ничем не отличается ee решение от "тупого" возведения первоначального уравнения в куб.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 04 июн 2007, 22:59

Natrix писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
Natrix писал(а):Source of the post
Неочевидно, как дальше решать исходя из твоей системы.

Да, система не из лёгких, но спокойно решается!!!

Ой, покажи решение. Система впрямую сводится к уравнению 9 степени. И ничем не отличается ee решение от "тупого" возведения первоначального уравнения в куб.

Согласен, но иногда и такой способ годится!!! Твой конечно выгоднее, но я его не нашёл!!!!

bot · Сообщение **bot** » 05 июн 2007, 13:24

Natrix писал(а):Source of the post
Неочевидно, как дальше решать исходя из твоей системы.

andrej163 писал(а):Source of the post
Согласен, но иногда и такой способ годится!!! Твой конечно выгоднее, но я его не нашёл!!!!

Дык просто:
$\{ x^3+1=2t \\ t^3+1=2x$
Вычитанием получаем $$(x-t)(x^2+xt+t^2+2)=0 $$

Отсюда

поскольку вторая скобка строго положительна.
Остальное уже есть.

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 06 июн 2007, 01:18

Вы че ребята мудрите ?!
Это две взаимно обратные функции. Известно, что взаимно обратные ф-ии симметричны относительно прямой $$y=x$$

, следовательно точки их пересечения лежат на этой прямой.
Тогда получаем:
$\{{x^3+1 \over 2}=x, \\ \sqrt[3]{2x-1}=x$

yourdomain.com