Интересные олимпиадные задачи
Добавлено: 16 июн 2007, 17:06
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Предлагаю еще несколько задач
Простая:
Доказать тождество
Посложнее:
Решить в целых числах уравнение
Решение первой задачи писть не буду - она очень простая.
A вторую можно решить так. Заметим, что
, .
Отсюда сразу видно, что решениями являются наборы
Пусть теперь Тогда
Рассмотрим следующие варианты:
A)
A.1) . Тогда , так что решений нет.
A.2) . Рассматриваем два случая и и находим решение
A.3) . Аналогично находим решение
A.4) . Здесь решений нет.
A.5) или . Здесь снова .
A.6) . Здесь решений нет, так как .
Аналогично рассматриваем случай .
B результате получим следующие решения:
.