Задачи для команды 1

Angerran · Сообщение **Angerran** » 07 июл 2007, 21:32

Angerran писал(а):Source of the post
T.к. $a\ge 0$ то разделив на него получим $\sqrt{x-b^2-c^2}\le a$

Здесь

, больше не вижу где ляпы.
B общем это я мысль кинул в народ может кто-нить че-нить придумает. Ведь в этом случае остался вариант A>B>=C.
A у нас еще один случай, когда к примеру A,B>0 a C<0. Там тоже не очень получается. Кстати там в случае если коэффициенты по модулю равны то вылазит еще один ответ достаточно просто, если не ошибся нигде $$x=11a^2$$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 07 июл 2007, 22:08

Ага, потом глянем, все оставшееся случаи. Странно, я понимаю что задача не вида:
сколько будет 2+2
и что надо тупо сказать 4, но мне кажется, что всё не так трудно, и уж слишком много казусных моментов. Что-то есть проще, но что........... ?

Angerran · Сообщение **Angerran** » 07 июл 2007, 23:17

Angerran писал(а):Source of the post
! Если все коэффициенты равны нулю то Х не равен нулю как вы написали - Х в данном случае ЛЮБОЕ число т.к мы в любом случае получим тождество 0=0 !

Еще ляп у себя нашел. Если все коэффициенты равны нулю, то Х не просто любое , a любое НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 08 июл 2007, 10:40

Что то первая задача застопорилась. Может покопать в другом направлении. Пусть a,b,c координаты некоторой точки в 3D пространстве, a x некоторая константа. Что за фигура у нас получится?
[url=http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280]http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280[/url]
Автор первой задачи очевиден.

И задача №4 тоже встала. Вообще никаких мыслей.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 08 июл 2007, 13:43

Pavlovsky писал(а):Source of the post
Что то первая задача застопорилась. Может покопать в другом направлении. Пусть a,b,c координаты некоторой точки в 3D пространстве, a x некоторая константа. Что за фигура у нас получится?
[url=http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280]http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280[/url]
Автор первой задачи очевиден.

И задача №4 тоже встала. Вообще никаких мыслей.

По 4-й задаче выше я написал практически полное решение (сообщение 24). Для завершения нужно провести индукцию по числу умножений на $$ 1 + x $$

.

По 1-й задаче.
Сначала сделаем замену $$ x = a^2 + b^2 + c^2 + y $$

; уравнение перепишется в виде
$a \sqrt{y+a^2} + b \sqrt{y + b^2} + c \sqrt{y + c^2} = a^2 + b^2 + c^2$ .
Затем обозначим $\alpha = (a, b, c),\ \beta = (\sqrt{y + a^2}, \sqrt{y + b^2}, \sqrt{y + c^2})$ . Тогда условие можно переписать в виде $(\alpha \mid \beta) = (\alpha \mid \alpha)$ , где $(* \mid *)$ - скалярное умножение. Это означает, что $(\alpha \mid \beta - \alpha) = 0$ , т.e. векторы $\alpha$ и $\beta - \alpha$ ортогональны.
Дальше можно ввести базис плоскости, ортогональной вектору $\alpha$ , например, взять векторы $(-b, a, 0),\ (0, c, -b )$ . Тогда уравнение можно записать в виде системы:
$\sqrt{y + a^2} - a = -ub,\\ \sqrt{y + b^2} - b = ua + vc,\\ \sqrt{y + c^2} - c = -bv$
от трех переменных $$ y, u, v $$

.
Решить такую систему теоретически возможно, но достаточно сложно.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 08 июл 2007, 13:52

Pavlovsky писал(а):Source of the post
Что то первая задача застопорилась. Может покопать в другом направлении. Пусть a,b,c координаты некоторой точки в 3D пространстве, a x некоторая константа. Что за фигура у нас получится?
[url=http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280]http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280[/url]
Автор первой задачи очевиден.

Автор-то очевиден, a как решить наше кто-нибудь придумал? Я что-то пока не совсем понимаю, как решать. Несмотря на то, что появились подсказки!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 08 июл 2007, 13:59

И еще по первой задаче.
B крайнем случае всегда есть, так сказать, лобовое решение: возводим 3 раза в квадрат и избавляемся от корней. B результате получим уравнение 4-й степени, формулы решения которого хорошо известны.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 08 июл 2007, 22:27

По 4-й задаче выше я написал практически полное решение (сообщение 24). Для завершения нужно провести индукцию по числу умножений на .

Долго врубался. Врубился. Вроде все OK.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 08 июл 2007, 23:29

Нам осталось только №1 решить? Bce остальные есть?(Полностью)

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 09 июл 2007, 21:35

Подведу промежуточные итоги по задаче №1
1) Если a=b=c=0 все x> являются решением уравнения.
2) Если a,b,c > (кроме случая 1) есть единственное решение x=a^2+b^2+c^2
3) если a+b+c<0, то решений нет4)если a+b+c>0, то есть единственное решение, которое находится в интервале

$0 < y < \frac {(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}$ , где $$x = y + a^2+b^2+c^2$$

yourdomain.com