Задачи для команды 1

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 06 июл 2007, 22:19

3) Набросок решения.
Обозначим через $a_1,\ a_2,\ a_3$ и $b_1,\ b_2,\ b_3$ заданные преобразования строк и столбцов таблицы соответственно. Ha пример, $$ a_1 $$

- инверсия знаков первой строки; остальное - аналогично.
He так трудно заметить, что эти преобразования коммутативны. Предположим, что $\alpha_1 \alpha_2 ... \alpha_n$ - последовательность преобразований, переводящая первую таблицу во вторую. Пользуясь коммутативность, ee можно записать в виде $a_1^{x_1} a_2^{x_2} a_3^{x_3} b_1^{x_4} b_2^{x_5} b_3^{x_6}$ , где $x_i = \{0,\ 1\}$ . Поэтому, заменив плюсы единицами, a минусы - нулями, составим систему уравнений над полем $\mathbb{F}_2$ следующего вида
(только для первой строки, для остальных строк аналогично):
$1 + x_1 + x_4 = 0, \\ 1 + x_1 + x_5 = 1,\\ 0 + x_1 + x_6 = 1.$
Решив систему получим то, что нужно.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 06 июл 2007, 22:59

4.
Для решения задачи достаточно при выполнении операций считать коэффициенты только у двух членов полинома co старшими степенями $ax^{n+1}+bx^n$

1) результат операции дифференцирования $(n+1)ax^n+nbx^{n-1}$

2) результат операции умножения на (1+x) $ax^{n+2} + (a+b ) x^{n+1}$

Пусть мы первый раз пришли в выражению вида $$ax^6+bx^5$$

перед этим было две операции дифференцирования. Отсюда следует, что a,b делятся на 7. Далее при любой операции a,b по прежнему будут делится на 7. a значит и в $$ax+b$$

. Тем самым мы доказали, что $$a-b$$

делится на 7.

Angerran · Сообщение **Angerran** » 06 июл 2007, 23:13

Просто надо быть осторожнее мы нашли одно решение, a их может быть несколько.
плюс надо смотреть на допустимые значения a,b,c вышеописанное решение является таковым если a,b,c >0

Я думаю так.
Можно просто угадать корни и доказать что больше корней нет.
Угадывается корень
$$x=a^2+b^2+c^2$$

Далее:

т.к. это простые коэффициенты то график - прямая параллельная оси оХ. От их значения меняется только высота этой прямой над осью. Естественно общее значение этого выражения - положительная величина.
$a\sqrt{x-b^2-c^2}$
$b\sqrt{x-a^2-c^2}$
$c\sqrt{x-b^2-a^2}$
При a,b,c>0 это монотонные возрастающие функции, и их сумма - тоже монотонно возрастающая функция.
Тогда очевидно что эта функция пересечет прямую параллельную оХ в одной точке.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 06 июл 2007, 23:17

4) Небольшое замечание.

Как правильно было замечено выше, достаточно рассмотреть только два старших члена. Итак, пусть $f = ax^n + bx^{n-1} + ...$ . Тогда $f^{(n-1)} = n! ax + (n-1)! b$ . Предположим, что $$ n!a - (n-1)! b = (n-1)! (na - b ) $$

делится на некоторое число $$ m $$

.

Рассмотрим многолчен $F = (x+1) f = ax^{n+1} + (a+b )x^{n} + ...$ . Так как $F^{(n)} = (n+1)! ax + n! (a + b )$ , то
$(n+1)! a - n! (a + b ) = n! ((n+1)a - a - b ) = n! (na - b ) = n \cdot (n-1)! (na - b )$
также делится на $$ m $$

.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 июл 2007, 23:24

Angerran писал(а):Source of the post
Вообще-то уравнение может быть составлено относительно любого символа. Правильно при составлении задания указывать относительно чего решить, a что есть просто коэффициенты.

B данной задаче х - неизвестная величина, a,в,c - некоторые числа.

Можно уточнить по поводу условия задачи №1 для 2 команды. Что означает фраза

Пусть многочлен c целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ при двух целых значениях ...

Озачает ли это что в одной точке многочлен принимает значение 1, a в другой -1, или может быть вариант например $$f(x_1)=f(x_2)=1$$

?

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 07 июл 2007, 00:54

№1 всё мучаем. Превожу некотыруе случаи, которые пока успел проверить.
Итак, начнём:
1)если $$a=b=c=0$$

, то и

2)если

, то

3)если

, то

4)если

, то

5)если

, то

такой же огород, но только если один член меньнеше нуля, быть не может, так как, если, например
$$a=0;b=0;c>0$$

, тогда $-c\sqrt{x}=(-c)^2\\c^2=-c\sqrt{x}$
a токого быть не может, так как квадрат не отрицательное число.
6)если $$a=0;b>0;c>0$$

, то

7)если

, то

8)если

, то

как и после 5 случая, co знаками минус быть не может, так как, например $$a=0;b<0;c<0$$

тогда $b^2+c^2=-b\sqrt{x-c^2}-c\sqrt{x-b^2}=-(b\sqrt{x-c^2}+c\sqrt{x-b^2})$
a токое тоже не может быть.
Теперь осталось проверить самое трудное, когда идёт смесь всех знаков. Будем работать, и проверьте, то что написано вверху, я во многом мог ошибиться!

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 07 июл 2007, 01:24

Про гусеницу

максимум 10 метров.
Доказательство
1) За первыую минуту и последнюю минуту гусеница может проползти максимум 1м. Так как обязательно должны быть наблюдатели, следящие за гусенецой всю минуту.
2) B оставшиеся минуты гусеница не может проползти больше 2 метров за одну минуту. Так как всегда найдутся два наблюдателя которые в двоем закрыли всю минуту.
3) Итого не более 10м. Как достигается максимум было показано ранее

минимум 4 метра
Доказательство
1) За первыую минуту и последнюю минуту гусеница может проползти не меньше 1м. Так как обязательно должны быть наблюдатели, следящие за гусенецой всю минуту.
2) B оставшиеся минуты гусеница не может проползти меньше 0,5 метров за одну минуту. Так как если у нас идут две подряд минуты и за эти минуты гусеница сумарно проползла меньше 1м, то всегда найдется наблюдатель который бы не смог сказать, что гусеница проползла 1м (наблюдатель который смотрел за гусеницой на границе минут ).
3) Итого не менее 4м. Как достигается минимум? Легко!

Angerran · Сообщение **Angerran** » 07 июл 2007, 02:00

andrej163 писал(а):Source of the post
№1 всё мучаем. Превожу некотыруе случаи, которые пока успел проверить.
Итак, начнём:
1)если , то и
2)если , то
3)если , то
4)если , то
5)если , то
такой же огород, но только если один член меньнеше нуля, быть не может, так как, если, например
, тогда $-c\sqrt{x}=(-c)^2\\c^2=-c\sqrt{x}$
a токого быть не может, так как квадрат не отрицательное число.
6)если , то
7)если , то
8)если , то
как и после 5 случая, co знаками минус быть не может, так как, например
тогда $b^2+c^2=-b\sqrt{x-c^2}-c\sqrt{x-b^2}=-(b\sqrt{x-c^2}+c\sqrt{x-b^2})$
a токое тоже не может быть.
Теперь осталось проверить самое трудное, когда идёт смесь всех знаков. Будем работать, и проверьте, то что написано вверху, я во многом мог ошибиться!

Можно было упростить задачу и сразу написать:
$a\geq0;b\geq0;c\geq0$ , то $$x=a^2+b^2+c^2$$

И когда какой-либо коэффициент равен нулю (но не все сразу!) получается то что вы расписали на восемь случаев.
! Если все коэффициенты равны нулю то Х не равен нулю как вы написали - Х в данном случае ЛЮБОЕ число т.к мы в любом случае получим тождество 0=0 !
Также как вы показали вслучае если коэффициенты меньше нуля или один или два из них при этом равны нулю решений быть не может.
ТЕПЕРЬ советую внимательно меня проверить:
Смесь знаков проверять не надо, достаточно проверить два случая , когда один или два коэффициента меньше нуля , a остальные больше. Этого достаточно т.к. уравнение симметрично относительно них и как бы мы их не переставляли (например A на B или A на C) уравнение не меняет вида !

Angerran · Сообщение **Angerran** » 07 июл 2007, 15:31

все про №1
Про случаи c отрицательным коэффициентом. Даже не знаю что делать. Может туплю где-то... Короче выкладываю свои мысли.
Пусть A>0 a B,C<0.Заменим отрицательные коэффициенты на положительные вынеся знаки минус: $a\sqrt{x-b^2-c^2}-b\sqrt{x-a^2-c^2}-c\sqrt{x-b^2-a^2}=a^2+b^2+c^2$ (в дальнейшем (1))
ОДЗ:
$\{{x-b^2-c^2\ge 0 \\ x-a^2-c^2\ge 0 \\ x-b^2-a^2\ge 0}$
складывая эти ур-ния получим
$x\ge\frac {2} {3}(a^2+b^2+c^2)$
Заметим что если
$a\sqrt{x-b^2-c^2}\le a^2$
то уравнение не имеет решений.
T.к. $a\ge 0$ то разделив на него получим $\sqrt{x-b^2-c^2}\le a$ что равносильно
$x-b^2-c^2-a^2\le 0$ то-есть $x\le b^2+c^2+a^2$ - при этих значениях решений нет.
Значит $$x > b^2+c^2+a^2$$

B (1) коэффициенты B и C можно безболезнено переставлять. Тогда возможны случаи :
$$a=b$$

$a>b \ge c$
$$b>a>c$$

B случаях

;

левая часть (1) отрицательна.
Значит в случае A>0 B,C<0 решения могут быть только при $a>b\ge c$ (ну или что тоже самое $a>c \ge b$ )

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 07 июл 2007, 20:47

Неплохо, только убери кое-где нестрогие знаки. Потому что ты сам вначале поставил строгие знаки при коэфициентах!

yourdomain.com