Задачи для команды 1

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 14 июл 2007, 03:02

Привожу решение "своих" задач.

3 Рассмотрим левый верхний угол обеих таблиц

$\begin{array}{|c|c|} \hline \\+ & + \\ \hline \\ - & - \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|} \hline \\ - & + \\ \hline \\ + & + \end{array}$

Заметим, что как бы мы не преобразовывали, угол одной таблицы нельзя привести к углу в другой таблице, поскольку при любых изменениях в первой таблице, количество знаков "+" всегда остается четным

4. Сделаем замену $$1+x=y$$

. Тогда исходный многочлен будет иметь вид $$(y-1)^8+(y-1)^7=y(y-1)^7=y(y^7-21y^6+...-1)=y^8-21y^7+...-y$$

Операция домножения на 1+х превратится в операцию домножения на у. Конечное выражение превратится в $$ax+b=ay-(a-b )$$

. Проанализировав эти выражения, получаем, что $$(a-b )$$

это продифференцированный не менее 7 раз одночлен $$21y^7$$

, тогда a-в делится на $21\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2$ , a уж тем более и на 49

5 Расчертим дно таблицы следующим образом
$\begin{array}{|ccccccccc|} \hline \\1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & ... \\ \\2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &9 & ... \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & ... \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & ... \\ ... & ...& ... & ... & ...& ...& ...& ...& \end{array}$
Заметим, что каждая плитка 2*2 покрывает числа
$\begin{array}{cc} k & k+1 \\ k+1 & k+2 \end{array}$
Каждая плитка 1*4 покрывает числа $s\; s+1\; s+2\; s+3$
Сумма чисел, которых покрывает плитка 2*2 равна $$4k+4$$

, т.e число делящееся на 4. Сумма чисел, которых покрывает плитка 1*4 равна
$$4s+6$$

, т.e число, дающее в остатке 2 при делении на 4, поэтому уравнение $$4s+6=4k+4$$

не имеет решение, следовательно, покрыть таким образом прямоугольник не удастся

6
Докажем, что функция f не убывает
Дествительно, если $0\le y\le x \le1$ , то $f(x)=f(x-y+y)\ge f(x-y)+f(y) \ge f(y)$ .
Также $f(2x)=f(x+x)\ge2f(x)$ , для всех х. Пользуясь этим, получаем
при $\frac {1} {2}<x\le1$ $f(x)\le f(1)=1 \le 2x$
при $\frac {1} {2^2}<x\le\frac {1} {2}$ $f(x)\le\frac {1} {2}f(2x) \le \frac {1} {2}f(1)=\frac {1} {2}\le2x$
при $\frac {1} {2^3}<x\le\frac {1} {2^2}$ $f(x)\le\frac {1} {2}f(2x) \le \frac {1} {2}f(\frac {1} {2})\le\frac {1} {4}\le 2x$
......
при $\frac {1} {2^{n+1}}<x\le \frac {1} {2^n}$ $f(x)\le \frac {1} {2}f(2x)\le \frac {1} {2^n}\le 2x$
a так как $$f(0)=0$$

, то $f(2x)\le 2x$ при всех х

б) Неверно, например, рассмотрим функцию
$f(x)=\{{0 ,\; 0\le x \le 1/2 \\ 1 ,\; 1/2< x \le 1 }$
Для этой функции выполнены все условия задачи, но
$f(0.51)=1>1.9\cdot 0.51=0.969$

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 14 июл 2007, 11:36

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
$f(x)=\{{0 ,\; 0\le x < 1/2 \\ 1 ,\; 1/2\le x \le 1 }$
Для этой функции выполнены все условия задачи, но

Ошибочка вышла при x=1/2 условия функции не выполняются!

alexpro · Сообщение **alexpro** » 14 июл 2007, 14:04

"Моя" задача №2. Я думаю еще раз повторять ee решение не стоит

. Оно такое же как было приведено, только в примерах у меня гусеница двигалась слегка по-другому.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 14 июл 2007, 14:41

Pavlovsky писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
$f(x)=\{{0 ,\; 0\le x < 1/2 \\ 1 ,\; 1/2\le x \le 1 }$
Для этой функции выполнены все условия задачи, но

Ошибочка вышла при x=1/2 условия функции не выполняются!

Эээ непонял, какие условия не выполняются? :huh:

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 14 июл 2007, 14:48

f(1/2)=1
f(1)=1
f(1/2)+f(1/2)>f(1)

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 14 июл 2007, 14:58

Хм и правда Подправил. Теперь вроде все верно. B сборнике задач выходит тоже ошибка была +1.
Кстати, если кому интересно
задача №3 предлагалась на киевской городской олимпиаде 1989 г (6 класс)
№4 - киевская городская олимиада 1990 (10 класс)
№5 - киевская городская олимиада 1987 (7 класс)
№6 - 8-ая Всесоюзная олимпиада 1974 г. (10 класс).
Кстати задачу №6 на олимпиаде не смог решить ни один участник, так что товарищу Pavlovsky честь и хвала!

yourdomain.com