Задачи для команды 1

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 13 июл 2007, 13:48

По поводу задачи №1
Исходное уравнение можно преобразовать к виду.

$\{ u^2 + v^2 = a^2 + b^2 + 2y \\ v^2 + t^2 = b^2 + c^2 + 2y \\ t^2 +u^2 = c^2 + a^2 + 2y \\ au+ bv+ ct = a^2 + b^2 + c^2$

a вот дальше никак. Максимум что удалось получить это результаты как у AV_77. T.e. формулу для c=0. И кубическое уравнение для общего случая.

PS Люди мы в опасности! Похоже соперники обходят нас на самом флажке. Может попросим отсрочку до понедельника?!

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 13 июл 2007, 14:08

Посовещавшись c автором задачи, мы решили ограничить условие первой задачи только случаем, когда у всех параметров одинаковые знаки (просто присланное им решение предполагает что у всех параметров одинаковые знаки). Поэтому можете не заморачиваться на вариант различных знаков

Angerran · Сообщение **Angerran** » 13 июл 2007, 19:21

B этом случае я так понимаю первая задача у нас решена.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 13 июл 2007, 19:46

1. Решить уравнение
$a\sqrt{x-b^2-c^2}+b\sqrt{x-c^2-a^2}+c\sqrt{x-a^2-b^2}=a^2+b^2+c^2$
Решение
Рассмотрим различные ситуации
1) Если a=b=c=0 очевидно, что все x> являются решением уравнения.

2) Если a,b,c > (кроме случая 1) есть единственное решение $$x=a^2+b^2+c^2$$

.
Что бы убедится, что $$x=a^2+b^2+c^2$$

есть решение достаточно его поставить в исходное уравнение.
Далее:
$$a^2+b^2+c^2$$

т.к. это простые коэффициенты то график - прямая параллельная оси оХ. От их значения меняется только высота этой прямой над осью. Естественно общее значение этого выражения - положительная величина.
$a\sqrt{x-b^2-c^2}$
$b\sqrt{x-a^2-c^2}$
$c\sqrt{x-b^2-a^2}$
При a,b,c>0 это монотонные возрастающие функции, и их сумма - тоже монотонно возрастающая функция.
Тогда очевидно что эта функция пересечет прямую параллельную оХ в одной точке. И соответсвенно $$x=a^2+b^2+c^2$$

единственное решение.

3) Если c=0. Тогда уравнение примет вид
$a\sqrt{x-b^2}+b\sqrt{x-a^2}=a^2+b^2$

Пусть $$ x=y + a^2 + b^2 $$

тогда $a\sqrt{y+a^2}+b\sqrt{y+b^2}=a^2+b^2$

Пусть $u=\sqrt{y+a^2}-a \\ v=\sqrt{y+b^2}-b$ Тогда $\{ u^2+ 2au=y \\ v^2+2bv=y \\ au+bv=0$

$\{ u^2+2au=v^2+2bv \\ au+bv=0$

$\{ u^2+2au=v^2+2bv \\ u=\frac{-bv}{a}$

$$ b^2v^2=a^2v^2+4a^2bv$$

$v=\frac{4a^2b}{b^2-a^2} \\ v=0$

Тогда $y=\frac{8a^2b^2}{(b^2-a^2)^2}(a^2+ b^2)$

$$ x = a^2 + b^2 $$

или $x = a^2 + b^2 + 8a^2 b^2 \frac{a^2 + b^2}{(a^2 - b^2)^2}$ .
Первое из них соответствует $a \ge 0, b \ge 0$ , a второе $$ ab < 0 $$

.

4) если a+b+c<0, то решений нетПри минимально допустимом x $a\sqrt{x-b^2-c^2}+b\sqrt{x-c^2-a^2}+c\sqrt{x-a^2-b^2}\le a^2+b^2+c^2$

При $x \to \infty$ левая часть равенства вырождается в $(a+b+c)\sqrt{x}$
если a+b+c<0, то константа в правой части не достижима.если a+b+c>0, то константа в правой части достижима. Причем решение будет единственным.

5)Общий случай все кроме предыдущих пунктов. Приведу только результат.
$u = \frac{bt^2 - 2ct}{2(c - a - bt)}$ .
$v = -\frac{bt^2 + 2at}{2(c - a - bt)}$ .

Осталось подставить все это в уравнение
$$ -2abu + b^2u^2 = 2abu + 2bcv + a^2u^2 + c^2v^2 + 2acuv $$

.
B результате получим уравнение четвертой степени относительно переменной $$ t $$

. Одним его корнем является 0.

Angerran · Сообщение **Angerran** » 13 июл 2007, 22:16

Pavlovsky писал(а):Source of the post
3) Если c=0. Тогда уравнение примет вид
$a\sqrt{x-b^2-c^2}+b\sqrt{x-c^2-a^2}=a^2+b^2$

Пусть тогда $a\sqrt{y+a^2}+b\sqrt{y+b^2}=a^2+b^2$
Пусть $u=\sqrt{y+a^2}-a \\ v=\sqrt{y+b^2}-b$ Тогда $\{ u^2+ 2au=y \\ v^2+2bv=y \\ au+bv=0$
$\{ u^2+2au=v^2+2bv \\ au+bv=0$
$\{ u^2+2au=v^2+2bv \\ u=\frac{-bv}{a}$

$v=\frac{4a^2b}{b^2-a^2} \\ v=0$
Тогда $y=\frac{8a^2b^2}{(b^2-a^2)^2}(a^2+ b^2)$
или $x = a^2 + b^2 + 8a^2 b^2 \frac{a^2 + b^2}{(a^2 - b^2)^2}$ .
Первое из них соответствует $a \ge 0, b \ge 0$ , a второе - .

Чето меня может тупит но:
Если C=0:
$a\sqrt{x-b^2}+b\sqrt{x-a^2}=a^2+b^2$
Если a,b>0 то ответ $$ x = a^2 + b^2 $$

вытекает из второго случая.
Если a,b<0: если заменить коэффициенты на положительные вынося знаки минуса то ур-ние примет вид: $-a\sqrt{x-b^2}-b\sqrt{x-a^2}=a^2+b^2$
$-(a\sqrt{x-b^2}+b\sqrt{x-a^2})=a^2+b^2$
Откуда при ненулевых коэффициентах вроде следует что нет решений.
?

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 13 июл 2007, 22:38

второе решение для ab<0 когда одно положительное, a второе отрицательное. Я убрал тире которое воспринималось как минус. Случай 3) гарантированно верный. Я даже прожку проверочную написал.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 14 июл 2007, 00:10

Ребята еще есть время подправить корявки в опубликованных решениях.

Angerran · Сообщение **Angerran** » 14 июл 2007, 00:19

A зачем нам вообще случай ab:)

Pavlovsky писал(а):Source of the post
3) Если c=0. Тогда уравнение примет вид
$a\sqrt{x-b^2-c^2}+b\sqrt{x-c^2-a^2}=a^2+b^2$

Пусть тогда $a\sqrt{y+a^2}+b\sqrt{y+b^2}=a^2+b^2$

Помоему здесь небольшая корявка: если мы считаем c=0, то надо его обнулить и в уравнении под корнями, и когда указываем какую замену делаем.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 14 июл 2007, 00:24

A зачем нам вообще случай ab<0 , если коэффициенты одного знака?

Мы что зря корячились? Решаем задачу в прежней постановке.

Soul · Сообщение **Soul** » 14 июл 2007, 02:39

M	Решения закончены

A	Решения закончены

yourdomain.com