Олимпиада НГУ-2013

fri739 · Сообщение **fri739** » 31 окт 2013, 00:40

bot писал(а):Source of the post
Вузы математического профиля, 2-4 курсы

1. На конечном множестве задана ассоциативная операция $\cdot$ . Докажите что в существует идемпотент (то есть элемент , удовлетворяющий тождеству ).

Возьмем произвольный элемент $x\in G$ . В силу ассоциативности, степень $x^k=x\cdot x\dots x$ корректно определена для любого целого положительного $$k$$

. Так как

конечно, то для некоторых $$m>n$$

выполняется $$x^m=x^n$$

.
Возьмем такое $$p$$

(степень двойки), что $m^p\geq 2n^p$ . Тогда $x^{2(m^p-n^p)}= x^{m^p}\cdot x^{m^p-2n^p}=x^{n^p}\cdot x^{m^p-2n^p}=x^{m^p-n^p}$ . Следовательно, $x^{m^p-n^p}$ - идемпотент.

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 09 фев 2014, 00:26

Можно узнать правильное решение задачи #2 (2-4 курсы)?
2. Пусть на множестве $$G$$

задана бинарная операция $\cdot$ , удовлетворяющая тождеству $$x(yx)=y$$

. Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству $$(xy)x=y$$

Подобные задания встречал, но нигде не видел доказательства.

M	Мне подсказали, что эту задачу включили в ныне действующий конкурс. Понравилась значит. Поэтому нижеследующие посты редактирую.

A	Мне подсказали, что эту задачу включили в ныне действующий конкурс. Понравилась значит. Поэтому нижеследующие посты редактирую.

bot · Сообщение **bot** » 09 фев 2014, 04:51

Например бла-бла-бла.

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 09 фев 2014, 11:30

bot писал(а):Source of the post
Например бла-бла-бла

И это всё доказательство?

bot · Сообщение **bot** » 09 фев 2014, 12:03

Всё.

yourdomain.com