Олимпиада НГУ-2013

bot · Сообщение **bot** » 13 окт 2013, 08:39

1 курс.
1. Докажите неравенство $\sqrt{2x^{2}-2x+1}+\sqrt{2x^{2}+2x+1}\geqslant 2$
2. На окружности заданы точки $$A$$

и

. Найдите на окружности такую точку $$C$$

, чтобы периметр треугольника $$ABC$$

был наибольшим.
3. Найти все натуральные $$n$$

, при которых оба числа $$n-1$$

и

являются кубами натуральных чисел.
4. Докажите, что из $$64$$

различных натуральных чисел, не превосходящих $$1000$$

, можно выбрать четыре различных числа $$a, b, c, d$$

, удовлетворяющих равенству $$a+b=c+d.$$

5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных $$x$$

, при каждом из которых $\sqrt{x^2+x+3}$ тоже рационально.

2-4 курсы
1. Интегрируемая по Риману на $$[a,b]$$

функция

удовлетворяет неравенству $\displaystyle \int\limits_a^b f(x)\, dx >0.$ Докажите, что $$f(x)>0$$

на некотором отрезке $[c,d]\subseteq[a,b].$
2. Пусть на множестве $$G$$

задана бинарная операция $\cdot$ , удовлетворяющая тождеству $$x(yx)=y$$

. Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству $$(xy)x=y$$

3. Докажите, что числа $2^{2^{m}}+1$ и $2^{2^{n}}+1$ при $m\ne n$ взаимно просты.
4. Квадратные матрицы $$A$$

и

с вещественными элементами перестановочны и при возведении в квадрат их ранг не меняется. Докажите, что $\operatorname{rank} (AB)^2=\operatorname{rank} AB$
5. См 5-ю задачу для 1 курса.

Ian · Сообщение **Ian** » 13 окт 2013, 10:20

bot писал(а):Source of the post
3. Докажите, что числа $2^{2^{m}}+1$ и $2^{2^{n}}+1$ при $m\ne n$ взаимно просты.

Большее минус двойка делится на меньшее)

bot · Сообщение **bot** » 27 окт 2013, 07:53

31 ОБЛАСТНАЯ ОТКРЫТАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2013г
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(27 октября. 10.00-14.00)

1 курс

1. Положительные числа $$x, y, z$$

удовлетворяют равенствам $$xyz=1$$

и $x+y+z=\frac1x+\frac1y+\frac1z$ . Найдите среднее из них.

2. Можно ли число 600 разложить в сумму 9 целых положительных слагаемых так, чтобы всевозможные суммы этих слагаемых, взятых не более одного раза, были различны?

3. Пусть $a_n=\dfrac{1}{4^n+1}+\dfrac{2}{4^n+3}+\dfrac{2^2}{4^n+3^2}\ldots +\dfrac{2^{n-1}}{4^n+3^{n-1}}$ . Вычислите $\lim\limits_{n\to\infty}2^na_n.$

4. У мухи один носок и одна туфелька на каждую из её шести ножек. Сколько различных порядков обувания возможно, если считать, что муха никогда не наденет туфельку на голую ногу, а носок - поверх туфельки?

5. Целые положительные числа $$a, b , c , d$$

удовлетворяют равенству $$ab=cd$$

. Может ли число $$a+b+c+d$$

быть простым числом?

Вузы математического профиля, 2-4 курсы

1. На конечном множестве $$G$$

задана ассоциативная операция $\cdot$ . Докажите что в $$G$$

существует идемпотент (то есть элемент $$x$$

, удовлетворяющий тождеству $$xx=x$$

).

2. Существует ли непрерывная функция $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , удовлетворяющая тождеству $\displaystyle f(f(x))=e^{-x}\, ?$

3. Даны две непрерывные функции $f, g : [a;b] \to [a;b]$ , причём $$f(g(x))=g(f(x))$$

при всех $x \in [a;b]$ .
Множество неподвижных точек функции $$f$$

связно. Докажите, что $$f$$

и

имеют общую неподвижную точку.
(Точка $$c$$

называется неподвижной точкой функции $$f$$

, если

).

4. Пусть вещественная функция $$f$$

непрерывна на $$[a; b]$$

, дифференцируема во внутренних точках и $$f(a)=0$$

. Докажите неравенство $\displaystyle \int\limits_a^b |f(x)|^2\, dx\leqslant \dfrac{(b-a)^2}{2}\int\limits_a^b |f'(x)|^2\, dx$

5. Найдите все тройки ортогональных матриц $$P, Q $$

и

порядка

, удовлетворяющих равенству $$P+Q=R$$

.

Вузы нематематического профиля, 2-4 курсы

1. Определите знак выражения $\sum\limits^{n-1}_{k=1}\sin\left(\cos\frac{k\pi }{n}\right)$ .

2. Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n(k+1)C_n^k=2^{n-1}(n+2)$

3. Исследуйте сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty n!\left(\frac{a}{n}\right)^n$ при $a\in \mathbb R$ .

4. В корзине лежат 12 различных пар носок. Какова вероятность, что среди 4 наугад выбранных носков окажется хотя бы одна пара?

5. Докажите неравенство $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}+ \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}}>2\left(n-\sqrt n\right)$

bot · Сообщение **bot** » 27 окт 2013, 09:49

К задаче #4 за 1 курс. Люди не только любуются мухами, но и ловят их, причем на поимку одной мухи среднестатистический человек тратит столько же калорий, сколько при средненьком половом акте, а при положительном результате получает сопоставимое удовольствие. Муха — это маленькая птичка (один грузин сказал). По научному, но популярно, муха (лат. Musca) имеет два крыла и, по мнению Аристотеля, 8 лапок, а по новейшим исследованиям - 6 ножек (сексуальных). Любитель всякого ... Объект охоты для домохозяек. Огнестрельное оружие для охоты не рекомендуется.

Ian · Сообщение **Ian** » 27 окт 2013, 10:00

bot писал(а):Source of the post
1 курс

5. Целые положительные числа удовлетворяют равенству . Может ли число быть простым числом?

Не может. Из разложений чисел на простые множители выводится
$\displaystyle \\a=\alpha\beta\\b=\gamma\delta\\c=\alpha\delta\\d=\gamma\beta$
отсюда $a+b+c+d=(\alpha+\gamma)(\delta+\beta)$

Ian · Сообщение **Ian** » 27 окт 2013, 10:16

bot писал(а):Source of the post
5. Докажите неравенство $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}+ \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}}>2\left(n-\sqrt n\right)$

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}+ \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}}>\int_n^{n^2}\dfrac{dx}{\sqrt x}=2\left(n-\sqrt n\right)$

Ian · Сообщение **Ian** » 27 окт 2013, 14:29

bot писал(а):Source of the post

1 курс

1. Положительные числа удовлетворяют равенствам и $x+y+z=\frac1x+\frac1y+\frac1z$ . Найдите среднее из них.

Обозначим правую часть 2-го равенства через $$p$$

, тогда эти числа корни кубического уравнения $$t^3-pt^2+pt-1=0$$

, t=1 его корень, остальные одно не больше 1 , другое не меньше 1 из 1-го равенства. Ответ: 1

mihailm · Сообщение **mihailm** » 28 окт 2013, 17:32

bot писал(а):Source of the post ...
1. Положительные числа удовлетворяют равенствам и $x+y+z=\frac1x+\frac1y+\frac1z$ . Найдите среднее из них...

Прямой метод выражения икс из первого равенства и подстановка во второе. Сразу (почти) разложение на множители

fri739 · Сообщение **fri739** » 30 окт 2013, 23:58

bot писал(а):Source of the post
1 курс.
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных , при каждом из которых $\sqrt{x^2+x+3}$ тоже рационально.

Эквивалентная задача: показать, что существует бесконечно много целых взаимно простых чисел $$p,q$$

таких, что $$p^2+pq+3q^2$$

является целым квадратом (тогда можно будет взять $x=\frac{p}{q}$ ).

Непосредственно проверяется, что если $$p^2+pq+3q^2=m^2$$

, то

, где

,

. Кроме того, $$p',q'$$

будут взаимно простыми, если $$p,q$$

были таковыми. Таким образом, начиная с пары $$p=2$$

,

, можно построить бесконечно много пар $$p,q$$

с желаемым свойством.

fri739 · Сообщение **fri739** » 31 окт 2013, 00:09

bot писал(а):Source of the post
1 курс.
4. Докажите, что из различных натуральных чисел, не превосходящих , можно выбрать четыре различных числа , удовлетворяющих равенству

Задача на принцип Дирихле. Сумма двух различных целых чисел из промежутка от 1 до 1000 может принимать одно из 1997 значений от 3 до 1999. С другой стороны, из 64-х чисел можно выбрать 2016 неупорядоченных пар.

yourdomain.com