Putnam 2012

xmaister · Сообщение **xmaister** » 03 дек 2012, 16:49

А насчет

есть идеи по док-ву единственности? Определить бы $$f$$

на всюду плотном множестве, но ни на рацинальных ни на числах вида $a^{\frac{p}{q}},0<a<1$ явно значения я указать так и не смог...

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 03 дек 2012, 17:16

Не знаю, насколько это строго, но в A3 всегда $x>\frac{x^2}{2-x^2}$ , потому мы можем свести вычисление $$f(x)$$

к вычислению $f(\delta )$ для сколь угодно малого $\delta>0$ через функциональное соотношение, а $f(\delta )=1+\epsilon$ для сколь угодно малого $\epsilon$ , значит мы можем вычислить $$f(x)$$

с точностью $f(x)\epsilon$ , которая может быть сделана произвольностью $\delta$ сколь угодно малой.
Значит $$f$$

единственна.
Ну и $$f(-x)=f(x)$$

.
А вот чему она равна!? Блин!

bot · Сообщение **bot** » 03 дек 2012, 17:34

Исправил А1, а А5 заменил моим переводом - он почти дословен оригиналу, так как было не до изысков. Начинали мы раньше всех.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 04 дек 2012, 16:55

Про B6. Утверждение обобщается так:
Пусть $$n$$

нечетно. Пусть $\pi(x)\equiv x^d\pmod n$ - перестановка $\mathbb{Z}_n^\times$ (это будет в точности для всех $d:\gcd(d,\varphi(n))=1$ ). Тогда $\pi$ - четная перестановка для всех $$d$$

$\Leftrightarrow$ каноническое разложение $$n$$

состоит лишь из простых $p\equiv -1\pmod 4$ .
В случае остальных $$n$$

перестановки м.б. как четны, так и нечетны. Пока не разобрал, что получается в таком случае.
(если надо - есть программулина, это все считающая).
upd: Точнее: В остальных случаях имеют место как четные, так и нечетные перестановки, причем перестановок обеих типов одинаковое число.
(это уже означает, что доказательства утверждения в разные стороны будут сильно различны)
upd2: Кажись наврал в формулировке. Надо так: нечетные перестановки есть $\Leftrightarrow$ в каноническом разложении $$n$$

число различных простых вида $p\equiv 1\pmod 4$ нечетно.
upd3: Если рассматривать только свободные от квадратов $$n=p_1...p_s$$

, то четность перестановки $x\to x^d\bmod n$ равна сумме четностей перестановок $x\to x^d\bmod {p_j}$ .
Насчет одинаковости числа нечетных и четных перестановок в том случае, когда они есть: это очевидно: отображение $\pi\to s(\pi)$ - гомоморфизм $\mathbb{Z}_n^\times\to\mathbb{Z}_2$ , мощность его ядра равна $\frac{|\mathbb{Z}_n^\times|}{2}$ . (кстати группа перестановок коммутативна)
upd4: Если $d\equiv 1\pmod 4$ , то для любого $$n$$

, свободного от квадратов, все перестановки $x\tox^d\pmod n$ четны. В случае $d\equiv -1\pmod 4$ могут быть как четны, так и нечетны. Случай $$d=3$$

описан, прочие случаи описать пока затрудняюсь.

(ненужное удалил)

fri739 · Сообщение **fri739** » 05 дек 2012, 02:22

A1. Пусть числа (не обязательно попарно различные) $f_1,f_2,\dots,f_{12}$ расположены на интервале $$(1,144)$$

в порядке (нестрогого) возрастания. Покажем, что найдутся три последовательных элемента $f_i, f_{i+1},f_{i+2}$ такие, что $f_i+f_{i+1}>f_{i+2}$ . Действительно, в противном случае будут иметь место неравенства $f_1+f_2\leq f_3$ , $f_2+f_3\leq f_4, \, \dots f_{10}+f_{11}\leq f_{12}$ ,
влекущие $2\leq f_3$ , $3\leq f_4$ , $5\leq f_5$ , $8\leq f_6, \, \dots 89\leq d_{11}, 144\leq d_{12}$ . Противоречие.

Рассмотрим теперь числа $d_1\leq d_2\leq \dots\leq d_{12}$ на интервале $$(1,12)$$

. Из доказанного выше следует, что найдется тройка $d_{i}, d_{i+1}, d_{i+2}$ со свойством $d_{i}^2+d_{i+1}^2>d_{i+2}^2$ , из которого следует, в частности, что $d_i+d_{i+1}>d_{i+2}$ . Неравенства треугольника для элементов $$d_i $$

и $d_{i+1}$ выполняются тривиально. Следовательно, по теореме косинусов $d_{i}, d_{i+1}, d_{i+2}$ являются длинами сторон остроугольного треугольника.

fri739 · Сообщение **fri739** » 05 дек 2012, 02:40

fri739 писал(а):Source of the post
A1. Пусть числа (не обязательно попарно различные) $f_1,f_2,\dots,f_{12}$ расположены на интервале в порядке (нестрогого) возрастания. Покажем, что найдутся три последовательных элемента $f_i, f_{i+1},f_{i+2}$ такие, что $f_i+f_{i+1}>f_{i+2}$ . Действительно, в противном случае будут иметь место неравенства $f_1+f_2\leq f_3$ , $f_2+f_3\leq f_4, \, \dots f_{10}+f_{11}\leq f_{12}$ ,
влекущие $2\leq f_3$ , $3\leq f_4$ , $5\leq f_5$ , $8\leq f_6, \, \dots 89\leq d_{11}, 144\leq d_{12}$ . Противоречие.

Рассмотрим теперь числа $d_1\leq d_2\leq \dots\leq d_{12}$ на интервале . Из доказанного выше следует, что найдется тройка $d_{i}, d_{i+1}, d_{i+2}$ со свойством $d_{i}^2+d_{i+1}^2>d_{i+2}^2$ , из которого следует, в частности, что $d_i+d_{i+1}>d_{i+2}$ . Неравенства треугольника для элементов и $d_{i+1}$ выполняются тривиально. Следовательно, по теореме косинусов $d_{i}, d_{i+1}, d_{i+2}$ являются длинами сторон остроугольного треугольника.

yourdomain.com

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Putnam 2012

Кто сейчас на форуме