International math competition

JeffLebovski

1.Consider a polynomial $f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\ldots +a_1x+a_0$ . Albert Einstein and Homer Simpson are playing the following game. In turn, they choose one of the coefficient $a_0,\ldots , a_{2011}$ and assign real value to it. Albert has the first move. Once a value is assigned to a coefficient, it cannot any more. The games end after the all coefficients has assigned value. Homer's goal is to make $$f(x)$$

divisible by a fixed polynomial $$m(x)$$

and Albert's goal is to prevent this.
(a)Which of the players has winning strategy if $$m(x)=x-2012$$

?
(b)Which of the players has winning strategy if $$m(x)=x^2+1$$

?

2. Define the sequence $a_0,a_1,\ldots$ inductively by $a_0=1, a_1=\frac{1}{2}$ and $a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n},n \geq 1$ . Prove that the series $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}$ is converges and determine its value.

3. Is the set of positive integer $$n $$

such that

devides

finite or infinite?

К сожалению, сейчас полное отсутствие времени. остальные 2 выложу чуть позже.

Ian · Сообщение **Ian** » 29 июл 2012, 17:44

JeffLebovski писал(а):Source of the post
1.(a)Which of the players has winning strategy if ?

Тут второй выиграет, в его руках сделать последний ход так. чтобы выполнялась теорема Безу $$f(2012)=0$$

2. Define the sequence $a_0,a_1,\ldots$ inductively by $a_0=1, a_1=\frac{1}{2}$ and $a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n},n\ ge 1$ . Prove that the series $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}$ is converges and determine its value.

Что ряд быстро сходится, это очевидно. Судя по расчетам, к $$2a_1$$

, в данных условиях к 1, как бы это доказать...

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 29 июл 2012, 17:54

JeffLebovski писал(а):Source of the post 3. Is the set of positive integer such that devides finite or infinite?

JeffLebovski

2. Define the sequence $a_0,a_1,\ldots$ inductively by $a_0=1, a_1=\frac{1}{2}$ and $a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n},n\ ge 1$ . Prove that the series $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}$ is converges and determine its value.

Что ряд быстро сходится, это очевидно. Судя по расчетам, к $$2a_1$$

, в данных условиях к 1, как бы это доказать...
[/quote] Тут все намного проще: Домножаем разностное уравнение на знаменатель, делим на а_н и получаем телескрпическую сумму откуда мнгновенно следует сзолимрсть и сумма=1

[quote name='Sonic86' post='366106' date='29.7.2012, 19:54']
[quote name='Чувак' post='366091' date='29.7.2012, 22:03']3. Is the set of positive integer $$n $$

such that

devides

finite or infinite?[/quote]

[/quote] Когда решал эту задачу на соревнование дошел до следующего, немогли бы вы покриктиковать? Пусть таких н бесконечно тогда $\gcd (k,n!+1)=1,1\le k \le n!$ , откуда $$k(n!+1)|(2012n)! $$

. Перемножая по всем $1\le k\le n!-1$ и переходя к пределу получаем противрречие.

JeffLebovski

Вот остальные 2 задачи:
[url=http://zalil.ru/33623209]http://zalil.ru/33623209[/url]

YURI · Сообщение **YURI** » 29 июл 2012, 21:27

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Когда решал эту задачу на соревнование дошел до следующего, немогли бы вы покриктиковать? Пусть таких н бесконечно тогда $\gcd (k,n!+1)=1,1\le k \le n!$ , откуда . Перемножая по всем $1\le k\le n!-1$ и переходя к пределу получаем противрречие.

Что такое

?

Ian · Сообщение **Ian** » 30 июл 2012, 08:12

Проблем 4.
Пусть $n\geqslant 2$ целое.Найти все действительные числа а, при которых существуют действительные числа $$x_1,...x_n$$

, что $x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=\dots=x_n(1-x_1)=a$ .
*******
Существование таких х равносильно наличию действительных решений у $$f^n(x)=x$$

(1), где $f(x) = 1 - \frac {a} {x} = \frac {x - a} {x}$ . При $-\infty <a\leqslant \frac 14$ действительные решения имеет уже $$f(x)=x$$

(2), и тем более (1). Но и f и любая его степень дробно-линейные, и имеют в $\mathbb {\bar C}$ либо две неподвижные точки, либо одну, либо бесконечно много. И выходит, что при а, не входящем в промежуток $-\infty <a\leqslant \frac 14$ , если действительная неподвижная точка есть, то почти любая точка - неподвижная, Это происходит, в частности, при $$n=3,a=1$$

, $n=4,a=\frac 12$ , $n=5,a=\frac {3\pm\sqrt 5}2$
Подробности здесь
Дальше уже от себя
Обозначив $t>0:\sqrt{1-4a}=it$ , получаем на t уравнение
$Im \left( \frac{1+it} 2 \right)^n=0$
$t=\tg\frac{\pi k}n,k<\frac n2$ , отсюда
$a=\frac{1+\tg ^2\frac{\pi k}n}4,k<\frac n2$ и конечно присоединяем к ответу все $-\infty <a\leqslant \frac 14$

JeffLebovski

YURI писал(а):Source of the post
JeffLebovski писал(а):Source of the post
Когда решал эту задачу на соревнование дошел до следующего, немогли бы вы покриктиковать? Пусть таких н бесконечно тогда $\gcd (k,n!+1)=1,1\le k \le n!$ , откуда . Перемножая по всем $1\le k\le n!-1$ и переходя к пределу получаем противрречие.
$$[/math]
×òî òàêîå [math]k$$" title="$$?

$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">k$$- произвольное целое, такое что $1\le k\le n!$ . Рассмотрим бесконечную последовательность $$n_m$$

натуральных чисел, такую что $$n_m!+1|(2012n)!$$

. Тогда для любого $$k$$

, такого что $1 \le k \le n_m!$ имеем $$k(n_m!+1)|(2012n_m)!$$

. Тогда последовательность $\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n_m!}\frac{(2012n_m)!}{k(n_m!+1)}$ состоит из натуральных чмсел. Далее переход к пределу.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 30 июл 2012, 09:52

Т.е.

-й член последовательности равен $\frac{(2012n_m)!^{n_m!}}{(n_m!)!(n_m!+1)^{n_m!}}$ ? Страшновато. Логарифмировать придется ...

Вы мне лучше problem 2 объясните Я вчера 2 часа сидел - ни фига не вижу телескопичность

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 31 июл 2012, 17:27

Чувак!, напишите про телескопический про телескопический ряд, будьте мужиком, с меня плюсик

yourdomain.com