на помежутке
Аналогично
на помежутке
Получили
частичная сумма равна
в пределе получаем
А по ссылке находимIan писал(а):Source of the post 6.Вычислить, где фиг.скобки обозначают дробную часть числа.
Там есть пост, но недостигший нужного результата
Квадраты можно развернуть 2 под 45о, а один в угол, условие не запрещает разворотBSK писал(а):Source of the post
а) В этой задаче для коэффициента меньше 3 утверждение неверно (квадратов для покрытия может оказаться всего 3, каждый с площадью меньше 1).
Толщиной скорей уж назвать
б) В левый нижний угол квадрата ставим самый большой квадратик со стороной. По нижней (и аналогично левой) границе квадрата вплотную друг к другу выстраиваем остальные квадратики в порядке убывания. Сторона последнего вместившегося квадратика равн
этот последний квадратик изображен красным, расстояние от этого красного квадратика до правой стенки квадрата меньше
Нашей целью является замостить часть исходного квадрата (лежащую вне зеленого квадрата и имеющую форму уголка толщиной) более чем наполовину.
Не только. Еще может тривиально кончиться место, куда упаковывать. Но тогда квадрат полностью (?как доказать?) разбит на прямоугольники, в каждом из которых площадь упакованных квадратиков составляет не меньше половины их площади.Половинку самого большого квадратика, который мы поставили в нижний левый угол, отнесем к горизонтальной нижней ножке уголка. Эта половинка вместе с самым правым красным квадратиком имеют большую площадь, чем непокрытая площадь уголка справа и выше красного квадратика.
Теперь разберёмся с частями угока, лежащими выше остальных квадратиков (они все синие), положенных вдоль нижней стенки. Если квадратик имеет высоту не менее(не ниже пунктирной линии), то его площадь составляет не менее половины соответстующей части уголка. На рисунке есть один такой.
Второй синий квадратик со сторонойниже пунктирной линии, поэтому его площадь меньше половины соответствуюшей части уголка. Но если он ниже пунктирной линии, то на него, не вылезая за границу уголка, можно поставить по крайней мере один следующий по размеру квадратик. Вот и будем над эти синим квадратиком по правой границе соответствующего участка уголка выставлять остальные квадратики, пока это позволяет верхняя граница уголка. Мы попали в исходную ситуацию (теперь роль квадратика
играет квадратик
)! И так далее и так далее. Чем закончится этот процесс? Либо израсходуем все квадратики, что хорошо, ведь это и было конечной цель. Либо не найдется квадратика, лежащего ниже своей пунктирной линии, что тоже хорошо, так как означает покрытие уголка не менее чем наполовину.
Ian писал(а):Source of the postНе только. Еще может тривиально кончиться место, куда упаковывать.BSK писал(а):Source of the post Чем закончится этот процесс? Либо израсходуем все квадратики, что хорошо, ведь это и было конечной цель. Либо не найдется квадратика, лежащего ниже своей пунктирной линии, что тоже хорошо, так как означает покрытие уголка не менее чем наполовину.
Ian писал(а):Source of the post По предположению индукции для прямоугольников длиной А, а ширинами равными 2му,...m-му отрезкам, расположенные в них квадратики занимают не менее 50% их площади. А в 1-м и (m+1)м прямоугольниках, вместе взятых,составляет не менее 50% площади. Шаг индукции сделан, а база очевидна.
При бесконечном числе квадратиков тоже применимо, мы же фактически показали, что каждый конкретный квадратик рано или поздно войдет в упаковку.
Вернуться в «Олимпиадные задачи»
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей