yourdomain.com

Найти экстремум функционала    в известных  пределах  a  и  b
cо связью G(x) = 0.  Обозначим множитель Лагранжа: h(x).
Все функции - аналитические.
Начинаем - ищем экстремаль  для   ...
... полный тупик у меня ...
----------------------------------------------------------------------------------
Перерыл РУНЕТ, -  ... бесполезно:
из более сложных вариантов не понял идею способа решения.
Как довести дело до победного конца ?!?

Попытайтесь исправить условие. Чтобы исследуемая величина была функционалом, а не числом как у вас:
, где F- данная функция,.
Чтобы связь была нетривиальной, оставаясь при этом голономной (не зависящей от производных явно):
 - х должна быль вектор-функцией от t, иначе неинтересно, достаточно численно решить уравнение связи и узнать корни, как функции параметра t, выбрать из них оптимальный
Наконец, краевые условия, значения в точках a и b нужны бы. И все равно неинтересно, к алгебраическим уравнениям сводится. Вот если бы F зависела не только от x(t), но и от t и производных х по t, тогда это ЗАДАЧА. Слова"задача Лагранжа" ничего мне не говорят, какая задача, Лагранж тут ко всему руку приложил, дайте ссылку. откуда Вы взяли это название

 

Ian писал(а):Source of the post Попытайтесь исправить условие. Чтобы исследуемая величина была функционалом, а не числом как у вас:, где F- данная функция,.

Спасибо, это был мой ляпсус, -

Ian писал(а):Source of the post Чтобы связь была нетривиальной, оставаясь при этом голономной (не зависящей от производных явно):  - х должна быль вектор-функцией от t, иначе неинтересно, достаточно численно решить уравнение связи и узнать корни, как функции параметра t, выбрать из них оптимальный

Увы, - у меня, действительно, связь тривиальна : Производная по верхнему пределу интеграла H(y) равна элементарной функции от этого предела b .  

Ian писал(а):Source of the post Наконец, краевые условия, значения в точках a и b нужны бы.

Значения a = 0  и  b =1 заданы однозначно.

Ian писал(а):Source of the post И все равно неинтересно, к алгебраическим уравнениям сводится. Вот если бы F зависела не только от x(t), но и от t и производных х по t, тогда это ЗАДАЧА. Слова"задача Лагранжа" ничего мне не говорят, какая задача, Лагранж тут ко всему руку приложил, дайте ссылку. откуда Вы взяли это название

 Действительно, задача предельно проста : производных нет вообще, - кроме как  функционала H по верхнему пределу ...
Куча источников, в т.ч. :
http://scask.ru/book_var.php?id=26http://scask.ru/book_var.php?id=26 , -
вот, и получается, что "простота хуже ..."
 

Понятно, по ссылке "задачей Лагранжа" называется практически любая задача на условный экстремум. Но это не общепринято.
 

У меня в шапке - вариационная задача ...
И - простейшая  ...
И я - в тупике ...

Так у Вас еще вопросы? Тогда и мой вопрос остается, поставить задачу полностью аккуратно, какая переменная где меняется, какая функция от каких переменных, где задана. И если Вы мне тривиальную задачу- то я Вам ее тривиальное решение и все довольны
 

Тривиальнее дальше некуда:     -
простейший функционал общего вида с обоими пределами
и одна функция связи G(x) = 0..
Множитель Лагранжа:  h(x), - я не сумел найти аналитически .
Ищу его в виде степенного ряда, - коли  Вы не вразумите ...

Решением уравнения G(y)=0 (должна же в нем быть искомая функция!) являются, как правило несколько констант  Одна из них и есть ответ, та, для которой
 -наибольшее (или наименьшее? Вам какое?)
Правило множителей Лагранжа имеет исключение -область изменения переменной не должна состоять из изолированных точек, иначе какой уж там градиент (вектор, смотрящий наружу области, перпендикулярный границе).Тут как раз такой случай, неприменимо оно.
 

В этой простейшей задаче условие  G(y) = 0 - заданная функция одной переменной.
Когда условие - интеграл, то проблем никаких,
а тут множитель Лагранжа:  h(x), - функция ,
и я не сумел найти её точное выражение.

Условие задает множество функций, среди которых и искать экстремаль. Предполагается, что их оооочень много. А Ваше условие- вырожденное, оно задает одну или несколько функций, причем не любых а констант. Для вырожденных задач Лагранж ничего такого не доказывал. h(x) не существует. Задача решается не его методом, а перебором. Потому что поставлена неинтересно