Вариационная задача - Лагранжа с одной голономной связью - простейшая ...

viizra37 · Сообщение **viizra37** » 09 июл 2015, 19:07

Найти экстремум функционала $H = \int F(x)dx$ в известных пределах a и b
cо связью G(x) = 0. Обозначим множитель Лагранжа: h(x).
Все функции - аналитические.
Начинаем - ищем экстремаль для $W = \int (F + hG)dx$ ...
... полный тупик у меня ...
----------------------------------------------------------------------------------
Перерыл РУНЕТ, - ... бесполезно:
из более сложных вариантов не понял идею способа решения.
Как довести дело до победного конца ?!?

Ian · Сообщение **Ian** » 10 июл 2015, 06:13

Попытайтесь исправить условие. Чтобы исследуемая величина была функционалом, а не числом как у вас:
$H(x)=\int_a^bF(x(t))dt$ , где F- данная функция,.
Чтобы связь была нетривиальной, оставаясь при этом голономной (не зависящей от производных явно):
$$G(t,x(t))=0$$

- х должна быль вектор-функцией от t, иначе неинтересно, достаточно численно решить уравнение связи и узнать корни, как функции параметра t, выбрать из них оптимальный
Наконец, краевые условия, значения в точках a и b нужны бы. И все равно неинтересно, к алгебраическим уравнениям сводится. Вот если бы F зависела не только от x(t), но и от t и производных х по t, тогда это ЗАДАЧА. Слова"задача Лагранжа" ничего мне не говорят, какая задача, Лагранж тут ко всему руку приложил, дайте ссылку. откуда Вы взяли это название

viizra37 · Сообщение **viizra37** » 10 июл 2015, 10:18

Ian писал(а):Source of the post Попытайтесь исправить условие. Чтобы исследуемая величина была функционалом, а не числом как у вас: $H(x)=\int_a^bF(x(t))dt$ , где F- данная функция,.

Спасибо, это был мой ляпсус, -
$H(y)=\int_a^bF(y(x), x))dx$

Ian писал(а):Source of the post Чтобы связь была нетривиальной, оставаясь при этом голономной (не зависящей от производных явно): - х должна быль вектор-функцией от t, иначе неинтересно, достаточно численно решить уравнение связи и узнать корни, как функции параметра t, выбрать из них оптимальный

Увы, - у меня, действительно, связь тривиальна : Производная по верхнему пределу интеграла H(y) равна элементарной функции от этого предела b .

Ian писал(а):Source of the post Наконец, краевые условия, значения в точках a и b нужны бы.

Значения a = 0 и b =1 заданы однозначно.

Ian писал(а):Source of the post И все равно неинтересно, к алгебраическим уравнениям сводится. Вот если бы F зависела не только от x(t), но и от t и производных х по t, тогда это ЗАДАЧА. Слова"задача Лагранжа" ничего мне не говорят, какая задача, Лагранж тут ко всему руку приложил, дайте ссылку. откуда Вы взяли это название

Действительно, задача предельно проста : производных нет вообще, - кроме как функционала H по верхнему пределу ...
Куча источников, в т.ч. :
http://scask.ru/book_var.php?id=26 http://scask.ru/book_var.php?id=26 , -
вот, и получается, что "простота хуже ..."

Ian · Сообщение **Ian** » 10 июл 2015, 10:54

Понятно, по ссылке "задачей Лагранжа" называется практически любая задача на условный экстремум. Но это не общепринято.

viizra37 · Сообщение **viizra37** » 10 июл 2015, 11:27

У меня в шапке - вариационная задача ...
И - простейшая ...
И я - в тупике ...

Ian · Сообщение **Ian** » 10 июл 2015, 15:04

Так у Вас еще вопросы? Тогда и мой вопрос остается, поставить задачу полностью аккуратно, какая переменная где меняется, какая функция от каких переменных, где задана. И если Вы мне тривиальную задачу- то я Вам ее тривиальное решение и все довольны

viizra37 · Сообщение **viizra37** » 10 июл 2015, 17:43

Тривиальнее дальше некуда: $H(y)=\int_a^bF(y(x), x))dx$ -
простейший функционал общего вида с обоими пределами
и одна функция связи G(x) = 0..
Множитель Лагранжа: h(x), - я не сумел найти аналитически .
Ищу его в виде степенного ряда, - коли Вы не вразумите ...

Ian · Сообщение **Ian** » 10 июл 2015, 19:07

Решением уравнения G(y)=0 (должна же в нем быть искомая функция!) являются, как правило несколько констант $$y_1,...y_k$$

Одна из них и есть ответ, та, для которой
$H(y_1)=\int_a^bF(x,y_1)dx,...,H(y_k)$ -наибольшее (или наименьшее? Вам какое?)
Правило множителей Лагранжа имеет исключение -область изменения переменной не должна состоять из изолированных точек, иначе какой уж там градиент (вектор, смотрящий наружу области, перпендикулярный границе).Тут как раз такой случай, неприменимо оно.

viizra37 · Сообщение **viizra37** » 10 июл 2015, 19:33

В этой простейшей задаче условие G(y) = 0 - заданная функция одной переменной.
Когда условие - интеграл, то проблем никаких,
а тут множитель Лагранжа: h(x), - функция ,
и я не сумел найти её точное выражение.

Ian · Сообщение **Ian** » 10 июл 2015, 20:52

Условие задает множество функций, среди которых и искать экстремаль. Предполагается, что их оооочень много. А Ваше условие- вырожденное, оно задает одну или несколько функций, причем не любых а констант. Для вырожденных задач Лагранж ничего такого не доказывал. h(x) не существует. Задача решается не его методом, а перебором. Потому что поставлена неинтересно

yourdomain.com