1) Доказать, что существует вложение в .
2) Доказать, что существует погружение 2-многообразия в .
3) Привести пример таких топологических пространств , что существуют непрерывные биекции и , но .
1) Сферы и стандартно вложены в и соответственно. Какие бы выбрать , чтобы отображение , определенное следующим образом , оказалось инъективным и более того дифференциал также оказался бы инъективен? С инъективность проблем мало, а вот сделать матрицу Якоби с нулевым ядром сразу не получилось.
Топологические вопросы
Топологические вопросы
Последний раз редактировалось DarkMel 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Правильно все начато. Теперь анализируем, как же строится тор в 3-мерном пространстве, и чтоб про вращения ни слова. Это частный случай n=1,k=1. Идея построения тора (прямого произведения двух окружностей)-в том, чтобы первая окружность являлась множеством центров второй, для этого достаточно, чтоб 1-я имела больший радиус, чем 2я. Ну и формулы получаем аналогичные , то есть мы своей волей назначили у1 вдоль радиуса 1-й сферы.С учетом условий, что сумма квадратов х =1, и сумма квадратов у =1, отображение инъективно. Можно построить формулы обратного отображения в и доказать, что оно непрерывно дифференцируемо, значит якобиан прямого и не был равен 0ALEX165 писал(а):Source of the post 1) Доказать, что существует вложение в .
...
1) Сферы и стандартно вложены в и соответственно. Какие бы выбрать , чтобы отображение , определенное следующим образом , оказалось инъективным и более того дифференциал также оказался бы инъективен?
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Ian, да, а я брал и получалось не вложение, нужно было чуть-чуть подправить. Но что значит обратное отображение и непрерывно дифференцируемо? Оно же будет определено на каком-то непонятном куске и этот кусок не открыт, кроме того, там могут быть критические точки...
А у Вас есть идеи по поводу погружения? Тут убирается условие инъективности.
Например, бутылку Клейна можно же погрузить в ?
А вообще много 2-многообразий, которые мжно погрузить в ?
(В первом сообщении ошибка, там погружение в )
А у Вас есть идеи по поводу погружения? Тут убирается условие инъективности.
Например, бутылку Клейна можно же погрузить в ?
А вообще много 2-многообразий, которые мжно погрузить в ?
(В первом сообщении ошибка, там погружение в )
Последний раз редактировалось DarkMel 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Однозначность - это значит, что х,у выразится через z однозначно как следствие из системы уравнений. Нам про образ вложения достаточно знать, что,(внутренний радиус многомерного тора равен 1, внешний 3), тогда формула восстанавливает y1 однозначно, причем через непрерывно-дифференцируемую формулу, производная корня не обращается в бесконечность, а больше никак потерять дифференцируемость нельзя. Остальные координаты х,у тем более выражаются однозначно, значит, матрица Якоби существует, значит, матрица обратного к ней отображения была невырождена, и все.
(Теорема.Все элементарные функции непрерывно дифференцируемы в области своего определения минус множество, где участвующие в композиции корни обращаются в 0)
Задачи 2 и 3 это сложно(
(Теорема.Все элементарные функции непрерывно дифференцируемы в области своего определения минус множество, где участвующие в композиции корни обращаются в 0)
Задачи 2 и 3 это сложно(
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Здравия Вам желаю.
По поводу 3) , думаю, подойдут бесконечные цилиндр и плоскость.
По поводу 3) , думаю, подойдут бесконечные цилиндр и плоскость.
Последний раз редактировалось balans 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Еще один бред. Возмем тор и режем его вдоль, равняем и получаем цилиндр. То же самое можно получит разрезанием тора поперек. Между каждыми точками тора и полученных цилиндров имеется однозначное отображение, а вот топологически тор и цилиндр отличаются.
Можно цилиндр порезать поперек и получим прямоугольник. Топология отличается и от цилиндра и от тора, соответствие между точеми то же.
Можно цилиндр порезать поперек и получим прямоугольник. Топология отличается и от цилиндра и от тора, соответствие между точеми то же.
Последний раз редактировалось balans 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Увы, нет, линия разреза потеряна, а ее тоже надо куда-то отобразить.
Невозможно непрерывно взаимно-однозначно отобразить плоскость на цилиндр, т.к цилиндр неодносвязен .
Тут ясно что обратное к отображению f должно быть не непрерывно, и обратное к отображению g должно быть не непрерывно.
Самое известное непрерывное взаимно-однозначное отображение, обратное к которому не непрерывно, примерно такое: y(x)=x на (0,1),x-1 на [2,3) -сливает две связных компоненты в одну. Видимо надо искать какие-то экзотические пространства с бесконечным числом связных компонент в каждом, если их конечное количество, то одинаковое в обоих пространствах, и дальше отображения fgfg...fg как-то переставляют компоненты, среди них найдется такая комбинация, которая оставляет их на месте, тогда fgfg...f и g пара непрерывных отображений, для которых предположение верно для их сужений на одну компоненту в каждом пространстве, значит играть с конечным числом связных компонент бессмысленно, тогда уж играть с одной.
Невозможно непрерывно взаимно-однозначно отобразить плоскость на цилиндр, т.к цилиндр неодносвязен .
Тут ясно что обратное к отображению f должно быть не непрерывно, и обратное к отображению g должно быть не непрерывно.
Самое известное непрерывное взаимно-однозначное отображение, обратное к которому не непрерывно, примерно такое: y(x)=x на (0,1),x-1 на [2,3) -сливает две связных компоненты в одну. Видимо надо искать какие-то экзотические пространства с бесконечным числом связных компонент в каждом, если их конечное количество, то одинаковое в обоих пространствах, и дальше отображения fgfg...fg как-то переставляют компоненты, среди них найдется такая комбинация, которая оставляет их на месте, тогда fgfg...f и g пара непрерывных отображений, для которых предположение верно для их сужений на одну компоненту в каждом пространстве, значит играть с конечным числом связных компонент бессмысленно, тогда уж играть с одной.
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Здравия Вам желаю.
А если что-либо вроде листа Мебиуса? Или порвать тор, связать узелком и концы вновь припоять.Ian писал(а):Source of the post Увы, нет, линия разреза потеряна, а ее тоже надо куда-то отобразить
Последний раз редактировалось balans 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
balans, не, так просто не получится.
Последний раз редактировалось DarkMel 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Топологические вопросы
Есть продвижения. Я запостил свое решение (1) на другом форуме, там просто привычней набирать ТеХ (http://dxdy.ru/topic93463.html). Там же есть и цитата аналогичного, в плане компонент связности (их бесконечное количество), решения из книги Архангельский А.В., Пономарёв В.И. "Основы общей топологии в задачах и упражнениях".
Действительно интересным становится вопрос о существовании подходящего примеры среди связных/линейно связных пространств.
Что же делать с погружением 2-многообразия в 3-мерное пространство((
Действительно интересным становится вопрос о существовании подходящего примеры среди связных/линейно связных пространств.
Что же делать с погружением 2-многообразия в 3-мерное пространство((
Последний раз редактировалось DarkMel 27 ноя 2019, 20:13, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Другие разделы математики»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость