Топологические вопросы

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 04 фев 2015, 14:22

1) Доказать, что существует вложение $S^n\times S^k$ в $\mathbb{R}^{n+k+1}$ .
2) Доказать, что существует погружение 2-многообразия $$M$$

в $\mathbb{R}$ .
3) Привести пример таких топологических пространств $$X, Y$$

, что существуют непрерывные биекции $f:X\to Y$ и $g:Y\to X$ , но $X \ncong Y$ .

1) Сферы $$S^n$$

и

стандартно вложены в $\mathbb{R}^{n+1}$ и $\mathbb{R}^{k+1}$ соответственно. Какие бы выбрать $$z_i, i=1,...,n+k+1$$

, чтобы отображение $$f$$

, определенное следующим образом $(x_1,...,x_{n+1})(y_1,...,y_{k+1}) \mapsto (z_1,...,z_{n+k+1})$ , оказалось инъективным и более того дифференциал $$df$$

также оказался бы инъективен? С инъективность проблем мало, а вот сделать матрицу Якоби с нулевым ядром сразу не получилось.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 фев 2015, 20:21

ALEX165 писал(а):Source of the post 1) Доказать, что существует вложение $S^n\times S^k$ в $\mathbb{R}^{n+k+1}$ .
...
1) Сферы и стандартно вложены в $\mathbb{R}^{n+1}$ и $\mathbb{R}^{k+1}$ соответственно. Какие бы выбрать , чтобы отображение , определенное следующим образом $(x_1,...,x_{n+1})(y_1,...,y_{k+1}) \mapsto (z_1,...,z_{n+k+1})$ , оказалось инъективным и более того дифференциал также оказался бы инъективен?

Правильно все начато. Теперь анализируем, как же строится тор в 3-мерном пространстве, и чтоб про вращения ни слова. Это частный случай n=1,k=1. Идея построения тора (прямого произведения двух окружностей)-в том, чтобы первая окружность являлась множеством центров второй, для этого достаточно, чтоб 1-я имела больший радиус, чем 2я. Ну и формулы получаем аналогичные $z_i=(2-y_1)x_i,\;i=1,...n+1\\z_{n+j}=y_j,\;j=2,...k+1$ , то есть мы своей волей назначили у1 вдоль радиуса 1-й сферы.С учетом условий, что сумма квадратов х =1, и сумма квадратов у =1, отображение инъективно. Можно построить формулы обратного отображения в $R^{n+1}\times R^{k+1}$ и доказать, что оно непрерывно дифференцируемо, значит якобиан прямого и не был равен 0

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 04 фев 2015, 22:28

Ian, да, а я брал $$z_i=x_i(2+y_i), i=1,...,n+1$$

и получалось не вложение, нужно было чуть-чуть подправить. Но что значит обратное отображение и непрерывно дифференцируемо? Оно же будет определено на каком-то непонятном куске $\mathbb{R}^{n+k+1}$ и этот кусок не открыт, кроме того, там могут быть критические точки...

А у Вас есть идеи по поводу погружения? Тут убирается условие инъективности.
Например, бутылку Клейна можно же погрузить в $\mathbb{R}^3$ ?
А вообще много 2-многообразий, которые мжно погрузить в $\mathbb{R}^3$ ?

(В первом сообщении ошибка, там погружение в $\mathbb{R}^3$ )

Ian · Сообщение **Ian** » 05 фев 2015, 05:18

Однозначность - это значит, что х,у выразится через z однозначно как следствие из системы уравнений. Нам про образ вложения достаточно знать, что $1\leq\sum_{i=1}^{n+1}z_i^2\leq 9$ ,(внутренний радиус многомерного тора равен 1, внешний 3), тогда формула $-1\leq y_1=2-\sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}z_i^2}\leq 1$ восстанавливает y1 однозначно, причем через непрерывно-дифференцируемую формулу, производная корня не обращается в бесконечность, а больше никак потерять дифференцируемость нельзя. Остальные координаты х,у тем более выражаются однозначно, значит, матрица Якоби $(\frac{\partial (x;y)}{\partial z})$ существует, значит, матрица обратного к ней отображения $(\frac{\partial z}{\partial (x;y)})$ была невырождена, и все.
(Теорема.Все элементарные функции непрерывно дифференцируемы в области своего определения минус множество, где участвующие в композиции корни обращаются в 0)
Задачи 2 и 3 это сложно(

balans · Сообщение **balans** » 05 фев 2015, 14:09

Здравия Вам желаю.
По поводу 3) , думаю, подойдут бесконечные цилиндр и плоскость.

balans · Сообщение **balans** » 05 фев 2015, 14:32

Еще один бред. Возмем тор и режем его вдоль, равняем и получаем цилиндр. То же самое можно получит разрезанием тора поперек. Между каждыми точками тора и полученных цилиндров имеется однозначное отображение, а вот топологически тор и цилиндр отличаются.
Можно цилиндр порезать поперек и получим прямоугольник. Топология отличается и от цилиндра и от тора, соответствие между точеми то же.

Ian · Сообщение **Ian** » 05 фев 2015, 16:03

Увы, нет, линия разреза потеряна, а ее тоже надо куда-то отобразить.
Невозможно непрерывно взаимно-однозначно отобразить плоскость на цилиндр, т.к цилиндр неодносвязен .
Тут ясно что обратное к отображению f должно быть не непрерывно, и обратное к отображению g должно быть не непрерывно.
Самое известное непрерывное взаимно-однозначное отображение, обратное к которому не непрерывно, примерно такое: y(x)=x на (0,1),x-1 на [2,3) -сливает две связных компоненты в одну. Видимо надо искать какие-то экзотические пространства с бесконечным числом связных компонент в каждом, если их конечное количество, то одинаковое в обоих пространствах, и дальше отображения fgfg...fg как-то переставляют компоненты, среди них найдется такая комбинация, которая оставляет их на месте, тогда fgfg...f и g пара непрерывных отображений, для которых предположение верно для их сужений на одну компоненту в каждом пространстве, значит играть с конечным числом связных компонент бессмысленно, тогда уж играть с одной.

balans · Сообщение **balans** » 05 фев 2015, 16:31

Здравия Вам желаю.

Ian писал(а):Source of the post Увы, нет, линия разреза потеряна, а ее тоже надо куда-то отобразить

А если что-либо вроде листа Мебиуса? Или порвать тор, связать узелком и концы вновь припоять.

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 06 фев 2015, 01:21

balans, не, так просто не получится.

DarkMel · Сообщение **DarkMel** » 06 фев 2015, 01:27

Есть продвижения. Я запостил свое решение (1) на другом форуме, там просто привычней набирать ТеХ (http://dxdy.ru/topic93463.html). Там же есть и цитата аналогичного, в плане компонент связности (их бесконечное количество), решения из книги Архангельский А.В., Пономарёв В.И. "Основы общей топологии в задачах и упражнениях".
Действительно интересным становится вопрос о существовании подходящего примеры среди связных/линейно связных пространств.
Что же делать с погружением 2-многообразия в 3-мерное пространство((

yourdomain.com