Количество решений системы нелинейных уравнений

Vector · Сообщение **Vector** » 21 янв 2012, 20:37

Дана система уравнений с коэффициентами $\alpha_1 \not=0, \ \alpha_2 \not=0$ , где альфы любые действительные ненулевые числа:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha _2 x_1^2 + \alpha _2 x_2^2 - \left[ {1 + \alpha _1^2 + \alpha _2^2 } \right]x_2 + \alpha _2 = 0, \\ - \alpha _2 x_1 + \alpha _2 x_1 x_2 - \left[ {\alpha _1 \alpha _2 - \alpha _1 } \right]x_2 = 0. \\ \end{array} \right.$

Нужно найти её действительные решения, причем $x_1 \not= 0, \ x_2\not=0, \ \ x_1 \not= \alpha_1, \ x_2\not=\alpha_2.$ (иксы могут равняться альфам с такими же индексами, но не все одновременно).

Вот, что считает WolframAlpha solution.

Правильно ли, что тут три подходящих решения, из которых одно всегда действительное, $x_1=-\frac {\alpha_1} {\alpha_2}, \ \ x_2=\frac {1} {\alpha_2}$ ?

Также интересуют следующие моменты:
1) Правильно ли, что такие системы, называются системами нелинейных уравнений?
2) Как для таких систем оценить количество всех решений и количество действительных решений, например, если добавиться похожее 3-е уравнение и соответственно $\alpha_3 \not=0, \ x_3\not=0$ , но, при этом, максимальная степень икса - двойка. Если есть какие-нибудь способы оценки кол-ва решений, могу постараться написать подробную структуру системы в зависимости от к-ва уравнений.
Кстати, может кого-то запутал видом системы, вот исходный, и для любого к-ва уравнений, её левая и правая часть будут "такие одинаковые", если вместо коэффициентов подставить переменные с соответствующими индексами.

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha _2 \left[ {1 + x_1^2 + x_2^2 } \right] = x_2 \left[ {1 + \alpha _1^2 + \alpha _2^2 } \right], \\ \alpha _2 \left[ {x_1 x_2 - x_1 } \right] = x_2 \left[ {\alpha _1 \alpha _2 - \alpha _1 } \right]. \\ \end{array} \right.$

Спасибо!

Vector · Сообщение **Vector** » 21 янв 2012, 22:28

Правильно, что если степень икса двойка, то к-во всех решений 2n-1, где n-к-во уравнений, а действительные, нужно смотреть для конкретных значений коэффициентов?

fri739 · Сообщение **fri739** » 23 янв 2012, 01:13

Vector писал(а):Source of the post

2) Как для таких систем оценить количество всех решений и количество действительных решений, например, если добавиться похожее 3-е уравнение и соответственно $\alpha_3 \not=0, \ x_3\not=0$ , но, при этом, максимальная степень икса - двойка. Если есть какие-нибудь способы оценки кол-ва решений, могу постараться написать подробную структуру системы в зависимости от к-ва уравнений.

Геометрически, уравнения в вашей системе определяют две квадратичные кривые, а (вещественные) решения системы соответствуют точкам пересечения этих кривых. По теореме Безу число таких точек (подсчитанных с кратностью) оценивается сверху произведением степеней кривых. В вашем случае $2\cdot 2$ .

Vector · Сообщение **Vector** » 23 янв 2012, 07:52

fri739 писал(а):Source of the post
Геометрически, уравнения в вашей системе определяют две квадратичные кривые, а (вещественные) решения системы соответствуют точкам пересечения этих кривых. По теореме Безу число таких точек (подсчитанных с кратностью) ограничивается сверху произведением степеней кривых. В вашем случае $2\cdot 2$ .

За ссылку спасибо! Для трех уравнений, будет не более 8=2*2*2 возможных вещественных корней, правильно?

fri739 · Сообщение **fri739** » 23 янв 2012, 17:25

Vector писал(а):Source of the post
За ссылку спасибо! Для трех уравнений, будет не более 8=2*2*2 возможных вещественных корней, правильно?

Нет. При добавлении новых уравнений в систему число решений не увеличивается. Если две кривые у вас пересекаются в четырех точках (нетрудно вообразить, скажем, два эллипса с таким свойством), то ясно, что при добавлении третьей кривой число точек одновременного пересечения всех кривых будет не более четырех.

Vector · Сообщение **Vector** » 23 янв 2012, 18:44

Т.е., если максимальная степень при иксах - двойка, то количество вещественных решений всегда не более 4-х, даже, если к-во уравнений (иксов) в системе 200 шт. Так?

fri739 · Сообщение **fri739** » 23 янв 2012, 22:55

Vector писал(а):Source of the post
Т.е., если максимальная степень при иксах - двойка, то количество вещественных решений всегда не более 4-х, даже, если к-во уравнений (иксов) в системе 200 шт. Так?

Да, это так. Притом можно даже утверждать, что если система из 200 квадратичных уравнений имеет максимально возможное (в нашем случае, четыре) решения, то найдутся два уравнения такие, что 198 оставшихся выражаются как линейные комбинации этих двух. Но тут существенно, что число переменных равно двум (теорема Безу работает для кривых).

Vector · Сообщение **Vector** » 24 янв 2012, 06:33

fri739 писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
За ссылку спасибо! Для трех уравнений, будет не более 8=2*2*2 возможных вещественных корней, правильно?

Нет. При добавлении новых уравнений в систему число решений не увеличивается. Если две кривые у вас пересекаются в четырех точках (нетрудно вообразить, скажем, два эллипса с таким свойством), то ясно, что при добавлении третьей кривой число точек одновременного пересечения всех кривых будет не более четырех.

Я еще не совсем понимаю, размерность пространства тут никак не влияет? Т.е. элипсы и гиперболы - это когда два уравнения с x1 и x2, а когда три c x1, x2, x3, то это уже объемные фигуры... Я правильно понимаю, что с ростом к-ва уравнений будет расти количество корней, как 2n, но из них будет только не более четырех действительных?

И еще интересует такой вопрос, я слышал, что систему нелинейных уравнений можно привести к эквивалентному многочлену, если все уравнения возвести в квадрат и сложить это правда?

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 24 янв 2012, 12:15

Vector писал(а):Source of the post
Я еще не совсем понимаю, размерность пространства тут никак не влияет?

Конечно влияет. Чем больше переменных, тем больше число возможных (подчеркиваю возможных, так как их может вообще не быть) решений.

Vector писал(а):Source of the post
Я правильно понимаю, что с ростом к-ва уравнений будет расти количество корней, как 2n, но из них будет только не более четырех действительных?

Нет это не верно. Если при одной и той же размерности пространства и степени уравнений добавлять новые уравнения, то количество корней будет убывать или их вообще не станет. Самый простой пример. Две прямые пересекаются в одной точке. Добавьте еще прямую, не пересекающееся с ними в той же точке и решений у системы не будет.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 24 янв 2012, 12:26

Vector писал(а):Source of the post
И еще интересует такой вопрос, я слышал, что систему нелинейных уравнений можно привести к эквивалентному многочлену, если все уравнения возвести в квадрат и сложить это правда?

Нет это не эквивалентное преобразование. Действительно все решения системы будут являться решениями данного уравненияю В этом легко убедиться подставих решения системы в это уравнение. Обратное не верно, так получается уравнение большой степени и большого числа переменных, поэтому возможно появление дополнительных решений.

yourdomain.com