Главные центральные моменты инерции треугольника масс

Anik · Сообщение **Anik** » 30 окт 2016, 06:49

12d3, спасибо вам за то, что вы откликаетесь на мои проблемы и помогаете советом.
Теперь, я наметил другой план решения. Треугольник масс, связанных невесомыми стержнями, представляет собой абсолютно твёрдое тело, с которым связан эллипсоид инерции. Если задать произвольное направление оси, проходящей через ц.м.в плоскости треугольника, вектором $\vec e$ (см. рис.1), то можно вычислить девять компонент тензора инерции твёрдого тела относительно взаимно ортогональных осей $\vec e,\vec k,\vec n$ . Векторы $\vec e,\vec k$ лежат в плоскости треугольника, а вектор $\vec n$ - нормален к этой плоскости.
Направление одной из главных центральных осей инерции нам известно, это направление $\vec n$ . Таким образом, нам известно направление одной оси эллипсоида инерции. Треугольник лежит в плоскости симметрии эллипсоида. Остальные две оси симметрии эллипсоида лежат в плоскости треугольника. в этой же плоскости лежит эллипс с двумя осями симметрии, совпадающими с главными центральнми осями инерции.
Уравнение этого эллипса представляет собой квадратичную форму от двух переменных. Нам нужно найти эту квадратичную форму (на плоскости) и привести её к каноническому виду. Таким образом можно найти угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы найти положение новых осей в которых квадратичная форма приобретает канонический вид, а оси новой системы и будут осями симметрии эллипса, т.е. главными центральными осями треугольника масс.
Чтобы всё это решить, нужно вспомнить то, что я начал уже забывать.
А что вы думаете по этому поводу?

Anik · Сообщение **Anik** » 01 ноя 2016, 09:54

Начну с божей помощью решать.
Для произвольного твёрдого тела можно вычислить момент инерции относительно произвольной оси $$l$$

с направляющими косинусами $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ по формуле (5), стр. 136:
$J_l=J_{xx}\alpha ^2+J_{yy}\beta ^2+J_{zz}\gamma ^2-2J_{yz}\beta \gamma -2J_{zx}\gamma \alpha -2J_{xy}\alpha \beta \qquad (5)$
Можно заменить $$J_l$$

величиной

, по формуле (8) и сменив обозначения, получим уравнение эллипсоида инерции:
$Ax^2+By^2+Cz^2-2Dyz -2Ezx -2Fxy=r^2\qquad (9'')$
Наша задача заключается в приведении полученной квадратичной формы от трёх переменных к каноническому виду, чтобы исчезли члены с произведениями координат. Это связано с решением кубического характеристического уравнения. Формулы получатся весьма громоздки.
Поскольку наше твёрдое тело представляет собой плоский треугольник, то направление одной из главных центральных осей инерции (максимум) нам известно, это направление можно задать единичным вектором, проведённым из ц.м. треугольника нормально к его плоскости. Это существенно упрощает решение. Далее, см. по ссылке пункт 12, на стр. 143. Если мы с вектором нормальным к плоскости тругольника свяжем ось z, то члены с произведеними координат, куда входит координата z исчезнут, и мы будем иметь:
$J_{xx}x^2+J_{yy}y^2+J_{zz}z^2-2J_{xy}xy=r^2\qquad(*)$
Теперь, вместо эллипсоида инерции (*) мы рассмотрим сечение этого эллипсоида плоскостью, в которой находится сам треугольник (z=0). Получим:
$J_{xx}x^2+J_{yy}y^2-2J_{xy}xy=r^2$ или
$$Ax^2-2Bxy+Cy^2=r^2$$

***исправил ошибку.
Левая часть полученного уравнения представляет квадратичную форму от двух переменных.
Есть отличная книга: Н.В. Ефимов "квадратичные формы и матрицы" где популярно всё объясняется.
В следующем сообщении я приведу эту форму к каноническому виду, и потом найду угол, на который нужно повернуть произвольную систему координат на плоскости, чтобы её оси стали главными центральными осями инерции треугольника масс. (Если повезёт).

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 04 ноя 2016, 21:37

Хотел сперва подождать обещанный автором темы месяцок, но потом подумал, что забуду. Так что, пользуясь случаем, что я сюда зашел... Ну, и вы пользуйтесь, пока еще можно.
Ничего в этой задаче считать не надо, она решается из элементарных соображений симметрии. Пусть a, b, c --- векторы, направленные из центра масс в вершины треугольника, a+b+c=0. Тензор инерции есть квадратичная комбинация этих векторов, симметричная по перестановкам любых двух из них. Таких комбинаций всего четыре: две тензорные и две скалярные. Условие a+b+c=0 сокращает их до одной тензорной и одной скалярной. Таким образом, тензор инерции определен с точностью до двух неизвестных коэффициентов. Далее рассматриваем треугольник нулевой высоты (вырождающийся в стержень с неравномерным распределением масс) --- один из его моментов должен зануляться. Это дает связь между коэффициентами, то есть определяет тензор инерции с точностью до множителя. Для выяснения направления осей инерции множитель несуществен. (Если угодно, его можно восстановить, рассмотрев второй --- ненулевой --- момент инерции стержня, тут действительно придется взять простейший интеграл от степенной функции.)

Anik · Сообщение **Anik** » 05 ноя 2016, 07:13

peregoudov, спасибо за совет, но я не настолько хорошо знаком с тензорным исчислением. Уже хорошо, что вы не написали, что задача решается в 10 минут.
Я бы продолжил писать сообщения, но редактор формул перестал работать и возникла вынужденная пауза.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 05 ноя 2016, 08:02

Anik писал(а):Source of the post редактор формул перестал работать и возникла вынужденная пауза.

Anik, редактор таки да, не работает, но команда LATEX-а пока ещё конвертируются в формулы.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 05 ноя 2016, 08:07

Пардон, я-то по простоте душевной подумал, что у вас осмысленная задача о вычислении моментов инерции (или хотя бы главных осей) однородной треугольной пластинки. А у вас, оказывается, просто три ничем не связанные друг с другом точки. Тогда проблемы вообще нет: тензор инерции выписывается по определению. Но смысла в этой величине нет никакой.

Anik · Сообщение **Anik** » 05 ноя 2016, 08:59

ARRY писал(а):Source of the post но команда LATEX-а пока ещё конвертируются в формулы.

Это как?

ARRY · Сообщение **ARRY** » 05 ноя 2016, 10:32

Anik писал(а):Source of the post Это как?

Anik, я имею в виду, что не пользуйтесь редактором формул, имеющимся здесь, он часто глючит. Пишите формулы на LATEX-е.. Так лучше и красивее.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 05 ноя 2016, 12:13

Anik писал(а):Source of the post ARRY, так я и спрашиваю: как это сделать?

Anik, пишите вручную команды LATEX-а и обрамляйте их (опять же вручную) тегами [math]. Это Вы умеете?

Anik · Сообщение **Anik** » 05 ноя 2016, 12:24

ARRY, так я и спрашиваю: как это сделать?
***Кажется редактор заработал...

yourdomain.com