Главные центральные моменты инерции треугольника масс

Anik · Сообщение **Anik** » 21 окт 2016, 12:03

Предлагается задача: найти векторную формулу для главной центральной оси произвольного треугольника масс.
Есть формула для равнобедренного треугольника, но это элементарно. Ясно, что главная центральная ось проходит через ц.м. треугольника и совпадает с осью симметрии равнобедренного треугольника. Для произвольного треугольника я готовой формулы не нашёл.
Я попробую данную формулу вывести в течение месяца. Может быть, кто-нибудь сможет это сделать быстрее.

Anik · Сообщение **Anik** » 22 окт 2016, 04:04

Пардон! Нужно было написать: найти векторную формулу для главной центральной оси инерции произвольного треугольника масс.

Capt. Buran · Сообщение **Capt. Buran** » 22 окт 2016, 08:32

Anik писал(а):Source of the post Пардон! Нужно было написать:

Anik писал(а):Source of the post Это не галоши, Это водолазные галоши.

Anik · Сообщение **Anik** » 22 окт 2016, 09:24

Да, да. Именно так...
А, впрочем, хи-хи.

Anik · Сообщение **Anik** » 26 окт 2016, 07:03

Вот уже пять дней прошло, а интереса к задаче не наблюдается. Действительно, в чём смысл этой задачи? Чем она может быть интересна?
Эта задача связана с изучением движения изолированных систем материальных точек (в частности трёх). Это класс задач небесной механики. Как задать взаимное расположение материальных точек системы? Как задать начальные условия движения точек системы?
Для треугольника масс особое значение имеет центр масс системы трёх точек, а именно: система отсчёта, начало которой совмещено с ц.м. изолированной системы материальных точек, и оси которой не вращаются в инерциальном пространстве, есть инерциальная система отсчёта. Это факт известный и его можно доказать.
Изолированная система мат. точек это такая система, на которую внешние силы не действуют, а все силы, действующие в системе, это внутренние силы взаимодействия, которые не могут повлиять на движение центра масс системы. Поэтому можно считать, что центр масс изолированной системы мат. точек неподвижен и невозмущаем от внутренних сил взаимодействия в системе.
Далее, как задать неподвижность осей системы отсчёта? Практически, неподвижность осей системы отсчёта задаётся путём ориентации этих осей на "неподвижные" звёзды. Говорят при этом, что оси СО не вращаются в инерциальном пространстве. А как это сделать теоретически? Как зафиксировать положение осей СО, чтобы они не вращались?
У меня есть предположение, что главные центральные оси инерции треугольника масс (изолированной системы) неизменны по направлению в пространстве, как бы материальные точки ни двигались. Другими словами, направления главных центральных осей инерции невозмущаемо от внутренних взаимодействий в системе, подобно тому, как и движение (неподвижность) центра масс системы невозмущаемо от внутренних взаимодействий.
Вот, в связи с этими соображениями и появляется интерес к нахождению главных центральных осей инерции треугольника масс.

Anik · Сообщение **Anik** » 26 окт 2016, 08:08

Есть ещё одна область применения задач, связанных с нахождением главных центральных осей инерции, это сопромат.
Известно, что балка, представляющая собой цилиндрическую поверхность, изгибается в плоскости, проходящей через главную центральную оь инеции нормального сечения, если изгибающий момент перпендикулярен этой плоскости. Если же не перпендикулярен, то наблюдается, так называемый, косой изгиб.
Так, если балка имеет нормальное сечение в виде произвольного треугольника, то косого изгиба не будет если изгибающий момент нормален к плоскости в которой лежит ось балки и главная центральная ось инерции сечения треугольника.
Однако, эта область для меня не столь интересна.

12d3 · Сообщение **12d3** » 26 окт 2016, 09:29

Anik, эта задача решается за 10 минут.
План решения:
1) Перемещаем начало координат в центр масс.
2) Делаем поворот треугольника на некий угол $\alpha$ .
3) Считаем центробежный момент инерции и приравниваем 0.
4) Решаем полученное в пункте 3 уравнение относительно угла $\alpha$ . У нас получатся 4 значения, отличающиеся друг от друга на углы, кратные $90^{\circ}$ . Это и будут направления главных осей инерции.

12d3 · Сообщение **12d3** » 26 окт 2016, 09:32

Anik писал(а):Source of the post У меня есть предположение, что главные центральные оси инерции треугольника масс (изолированной системы) неизменны по направлению в пространстве,

Я вам сразу скажу, что это не так. Поможет такое простое рассуждение: у системы из 3 точек одна из главных осей инерции перпендикулярна плоскости, содержащей эти три точки. Чтобы она не меняла направление, точки всегда должны находиться в одной плоскости. Однако легко представить себе движение трех точек, когда это условие не выполняется.

Anik · Сообщение **Anik** » 26 окт 2016, 13:39

12d3 писал(а):Source of the post План решения:

Да, именно такой план решения я себе наметил.

Проводим из ц.м. треугольника единичный вектор $\vec e$ , лежащий в плоскости треугольника.
Находим центробежный момент инерции треугольника относительно этой оси.
Поворачиваем треугольник вокруг ц.м. в плоскости треугольника относительно вектора $\vec e$ , до тех пор, пока центробежный момент инерции не станет равен нулю.

Таким образом мы найдём три угла между радиус векторами точек и вектором $\vec e$ , лежащем на одной из главных центральных осей инерции.

12d3 писал(а):Source of the post Однако легко представить себе движение трех точек, когда это условие не выполняется.

Здесь вы не совсем правы. Во-первых, мат. точки изолированной системы трёх точек будут всегда двигаться в одной плоскости не поворачивающейся в пространстве. Во-вторых, если начальные условия движения заданы так, что система трёх мат. точек имеет кинетический момент (момент импульса), то точки этой системы будут вращаться вокруг ц.м. системы так, что кинетический момент всей системы будет оставаться постоянным. При этом главные центральные оси инерции будут вращаться вокруг ц.м. (кроме одной, лежащей на оси вращения). Движение точек будет происходить в одной и той же неизменной плоскости. Но, начальные условия движения можно задать и с нулевым начальным кинетическим моментом. Тогда все три главные центральные оси инерции будут иметь неизменное положение в пространстве. Однако, это нужно доказать, а пока это только предположение.

Anik · Сообщение **Anik** » 27 окт 2016, 13:26

Треугольник масс образован тремя различными массами $$m_i$$

, лежащими в плоскости P, и соединёнными тремя жёсткими невесомыми стержнями (стороны треугольника). Радиус-векторы $$r_i$$

проведены из центра масс $$c$$

(забыл обозначить на рисунке). Плоскость P вместе с треугольником вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси единичного вектора $\color {blue} e$ .
В результате вращения на массы $$m_i$$

будут действовать центробежные силы $\color{red} F_i$ . Эти силы будут создавать суммарный момент сил, пытающийся повернуть теугольник масс в плоскости P. Будем считать, что треугольник может поворачиваться вокруг центра масс. Положение треугольника в плоскости относительно оси вращения $\color{blue} e$ задаётся углами $\alpha _i$ отсчитанными от оси вращения по часовой стрелке. На рисунке показан один угол $\alpha _1$ .

Существует такое положение треугольника на плоскости, при котором суммарный вращающий момент от трёх центробежных сил $\color{red} F_i$ будет равен нулю. В этом случае ось вращения совпадёт с одной из главных центральных осей инерции треугольника.
Найдём суммарный вращающий момент $$M_i$$

сил $\color{red} F_i$
$F_i=\varpi ^2(r_i\sin \alpha_i )m_i=(r_i\sin \alpha_i )m_i\qquad \varpi ^2=1$
$M_i=(r_i\sin \alpha_i \cdot r_i\cos \alpha _i)m_i$ . Поскольку момент равен произведению силы на плечо.

Дальше, видимо получится уравнение шестой степени, поскольку три угла $\alpha _i$ , да ещё две главные центральные оси инерции.

yourdomain.com