Диффур 3-го порядка

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 18 авг 2016, 08:36

Здраствуйте. В задании по физике при анализе сложного движения мат.точки у меня вылезло вот такое дифф.уравнение:
$$xy'''+y''=2x-3$$

.
Не соображу, как к нему подступиться. Кто-нибудь здесь может подсказать?
Как проинтегрировать его численно, я представляю. Но, конечно, хотелось бы получить аналитическое решение.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 18 авг 2016, 09:29

Попробуйте так:
$$U=xy''$$

Тогда

До конца не мутузил, но вроде всё должно свестись к интегрированию многочленов.
P.S. Там вроде ещё логарифм появится, но вполне съедобный.

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 18 авг 2016, 10:48

grigoriy, точно, там же слева производная произведения. Какая же я слепая! Только тогда один вопрос:
$\displaystyle xy''=\int (2x-3)dx=x^2-3x$
Могу ли я теперь разделить обе части уравнения на $$x$$

? Не потеряю ли я при этом часть решений?

12d3 · Сообщение **12d3** » 18 авг 2016, 11:47

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Могу ли я теперь разделить обе части уравнения на x? Не потеряю ли я при этом часть решений?

Уже потеряли. Константа где?

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 18 авг 2016, 12:28

12d3 писал(а):Source of the post Уже потеряли. Константа где?

Да, да, 12d3, Вы правы. Получается так:
$\displaystyle xy''=\int (2x-3)dx=x^2-3x+C_1$
$\displaystyle y''=x-3+\frac {C_1}{x}$ ,
и потом ещё дважды проинтегрировать. Всё поняла. Только вот при этом делении на $$x$$

не было ли потери части решений?

12d3 · Сообщение **12d3** » 18 авг 2016, 13:09

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Только вот при этом делении на x не было ли потери части решений?

Раз мы делим на $$x$$

, то что-нибудь плохое может возникнуть только при $$x=0$$

. При решении диффуров можно спокойно наплевать на то, что происходит что-то нехорошее в отдельных изолированных точках. Вот если бы вы поделили на $$y$$

или на

или вообще на какое-нибудь выражение, в которое входит функция и/или ее производные, вот тогда действительно можно потерять решения.

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 18 авг 2016, 13:21

12d3, а это Ваша интуиция, или можно строго обосновать, что поведением функции в точке $$x=0$$

можно пренебречь. В учебнике об этом ничего нет. Где можно прочесть об этом?

12d3 · Сообщение **12d3** » 18 авг 2016, 14:18

Тут интуиция, а чтоб совсем строго, надо лезть в теорию и глядеть теоремки о существовании и единственности решения задачи Коши, но я это уже позабыл давно.
Хотя может я перегибаю слегка, и есть простое обоснование.

alekcey · Сообщение **alekcey** » 18 авг 2016, 17:15

GEPIDIUM писал(а):Source of the post 12d3, а это Ваша интуиция, или можно строго обосновать, что поведением функции в точке можно пренебречь. В учебнике об этом ничего нет. Где можно прочесть об этом?

Если уравнение свести к автономной системе, то всё будет видно на фазовой картинке. И будет понятно, почему и от чего. Суть не меняется, просто размерность пространства возрастает. Соответственно, можно почитать про автономные системы.
Рекомендую пакет Maple. Там можно (если это возможно) получать решение в замкнутой форме, распечатывать последовательность действий, ну, и всегда рисовать фазовую картинку, да и вообще много чего. Говорят, по дифурам это лучший пакет, но и в остальном он редко ниже первого места. (Например, Maple делает за меня всю работу, компенсируя мне нехватку знаний и позволяя исходить лишь из предположений и фантазий.)

losev.cergej

yourdomain.com