Задачи из курса выпуклый анализ

[vadim.moshko]

Доказать, что дополнение к открытому шару  в гильбертовом пространстве является замкнутым, но не является слабо замкнутым множеством.
Доказать, что непустые выпуклые множества A и B из банахова пространства E отделимы (сильно отделимы) функционалом тогда и только тогда, когда s(p,A)+s(-p,B) меньше или равно (строго меньше) нуля.
 

[ARRY]

vadim.moshko, Вы первый раз на форуме. Поэтому:
1. Здороваться надо.
2. Избавляйтесь от приказного тона - "Доказать!" Никто ничего Вам доказывать не обязан. Это должна быть просьба, и в тоне располагающем. А иначе Вы вместо получения помощи просто отталкиваете от себя людей.
3. В каждой теме должна быть только одна задача. На вторую задачу откройте вторую тему.
Всё это Вам на будущее. Пока же давайте рассмотрим первую задачу как более простую. А Вы сами не пробовали думать, прежде чем выложить её на форум? Это у Вас по топологии или по функану? Всё же настолько элементарно, что достаточно просто было открыть учебник.
Ну смотрите, шар открытый, значит его дополнение замкнуто по определению (из учебника). Вот Вам половина доказательства. Далее, рассмотрим единичный шар. Тогда единичные векторы ортонормированного базиса принадлежат его дополнению. (Это цитата из учебника топологии). А дальше совсем просто. Само собой, последовательность этих единичных векторов слабо сходится к нулевому вектору. Но ведь нулевой вектор лежит не в дополнении, а в шаре. Отсюда и следует, что дополнение не является слабо замкнутым. Доказано.
Читайте учебник, вся сила в нём.
Вторую задачу, я полагаю, решите сами. Не намного сложней.

[vadim.moshko]

Во-первых, здравствуйте!
​Во-вторых благодарю за помощь!

В-третьих,  с пунктами 1 и 3 по замечаниям согласен, а вот со 2 тут претензия необоснована, я сразу начал с условия задачи, а там черным по белому было написано именно "Доказать" и никак иначе. Но это мелочи, ещё раз благодарю за помощь
 

[ARRY]

Source of the post Избавляйтесь от приказного тона - "Доказать!" Никто ничего Вам доказывать не обязан. Это должна быть просьба, и в тоне располагающем. А иначе Вы вместо получения помощи просто отталкиваете от себя людей.

Source of the post тут претензия необоснована, я сразу начал с условия задачи, а там черным по белому было написано именно "Доказать" и никак иначе.

vadim.moshko, в том то и дело, что можно иначе. И если бы Вы полазили тут по форуму, Вы бы это увидели.
В Вашем задании написано: "Доказать, что дополнение к открытому шару...и т.д.".
Выкладывая Ваше задание на форум (а тем более приходя сюда в первый раз), Вы вполне можете начать так: "Здравствуйте. Будьте добры, как мне доказать, что...и т.д.", или так: "Здравствуйте. Помогите мне, пожалуйста, доказать, что...и т.д.".  И после этого либо привести какие-то попытки решения, либо внятно объяснить, почему задача Вам не даётся.
Почувствовали разницу? Ну и отлично. И, поймите, это не нравоучения. Просто если Вы с людьми приветливы, то и люди к Вам потянутся, Вы их к себе расположите.

[Ian]

Source of the post Доказать, что дополнение к открытому шару  в гильбертовом пространстве является замкнутым, но не является слабо замкнутым множеством.

Привет. А где-нибудь еще спрашивали?Я знаю пяток форумов, на которых вам ответят быстрее. Но напишу здесь, так как надеюсь, что ответ будет лучшим чем там. Не надо лишних подробностей и формализма, а только суть. Все гильбертовы пространства изометричны  , и можно считать, что мы в l2
Можно считать, что у нас дополнение к единичному шару с центром в 0.
Тогда ему принадлежат вектора стандартного базиса (1,0,0...),(0,1,0...),...
А эта последовательность слабо сходится к нулю, это есть в любом учебнике, значит, нет слабой замкнутости.
Просто замкнутость - есть, дополнение описывается условием , в нем можно перейти к пределу и снова получится то же условие