Численные методы

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 15 янв 2014, 18:53

Возник такой, казалось бы, тривиальный вопрос. Нужно решить уравнение параболического типа с помощью явной схемы:

$y_{i}^{n+1}=\frac{y_{i+1}^{n}-2*y_{i}^{n}+y_{i-1}^{n}}{h^2}$

Я выкинул некоторые слагаемые, которые прибавляются дальше - они не влияют на суть вопроса.
Так вот, также дано начальное условие, т.е при t=0 (n=0). Чтобы вычислить то, что я указал выше, т.е. значение на слое n+1, при n=0 сначала, т.е. у(1), нужно использовать начальное условие, т.е. определить значения на слое n=0 при i+1, i и i-1. Это понятно. Мы получаем значение у(1). Но вот как дальше быть, я не знаю. Теперь нужно вычислить у(2), т.е. n будет равно 1. $y_{i}^{n}=y_{0}^{1}$ мы уже вычислили, а вот что делать с $y_{i+1}^{n}=y_{1}^{1}$ - непонятно. Мы же уже не можем использовать начальные условия, т.к. n уже не ноль, а 1, т.е. это уже другой слой. И то, что определили до этого, не можем использовать в этом случае, т.к. мы определили это для i, а не для i+1 и i-1.
Помогите разобраться, очень нужно.

Ian · Сообщение **Ian** » 15 янв 2014, 19:32

Это типа уравнение теплопроводности для ограниченного стержня, должны быть заданы граничные условия $$y(0,t)$$

и

-наз."условия 1 рода", или на производные по х (2 рода) или смешанные.
Иначе и точное решение не определено, и численный метод не работает

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 15 янв 2014, 19:34

Да, граничные условия тоже имеются. Только, разве их необходимо использовать в явной схеме?

Ian · Сообщение **Ian** » 15 янв 2014, 19:44

Необходимо. Если они 1 рода, то крайние $$y_0^n$$

и другое (назовем его $$y_m^n$$

, где

) вычисляются в зависимости от n (пропорциональном времени t) А если нет, то скажите какие они

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 15 янв 2014, 19:48

Да, они первого рода:

u(0, t)=1; u(1, t)=0

Ian · Сообщение **Ian** » 15 янв 2014, 20:03

Ну все просто $$y_0^n=0$$

,

при любом n, а вот $y_i^{n+1}$ вычисляются по этой формуле при $$i=1...m-1$$

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 16 янв 2014, 14:12

Мне кажется, вы перепутали выражения местами.
Я не совсем понимаю...Например, нам нужно определить $$ y_{1}^{1} è y_{-1}^{1} $$ Получается, что по времени это первый слой, а по координате первый или минус первый. А граничные условия даны именно на границах, т.е. при х=0 и х=1. И еще, вы писали, что при любом n...но это ведь относится именно к случаям, когда х=0 и х=1, а не ко всем остальным, которые посередине вычислений. И, если руководствоваться этим, то зачем тогда вообще нужны начальные условия? Мы же именно по ним вычисляем $y_{1}^{0} , y_{-1}^{0}$ ...

СергейП

Это сообщение от Ian-а:

Описали бы задачу с начала, проблем бы не было
Точная задача
$\displaystyle \frac{\d y(x,t)}{\d t}=\frac{\d ^2y(x,t)}{\d x^2}$
$x\in [0,l]$ или где? $t\in [0,\infty )$
$y(x,0)=\varphi (x)$ начальное условие
$y(0,t)\equiv 1,y(0,t)\equiv 0$ граничные условия
Переход к сетке
$$h=l/m$$

малое, $\tau =t/n<\frac{h^2}2$ условие устойчивости для шага по времени
Теперь функция интересует только в узлах сетки $x=ih,i=0...m,t=n\tau ,n= 0,1...$
В крайних точках сетки она известна
$y_i ^0=\varphi (ih),i=0...m$ - из начального условия
$$y_0^n=1$$

и

из граничных условий
Метод вычисления по явной схеме:
$\displaystyle y_i^{n+1}:=y_i^n+\frac{\tau}{h^2}(y_{i+1}^n-2y_i^n+y_{i-1}^n)$ где i=1,...m-1, так как для i=0 и i=m известно из граничных условий $y_0^{n+1}=1,y_m^{n+1}=0$ . Применять этот цикл присваиваний последовательно для n=0,1,2,...

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 17 янв 2014, 14:39

Это для явной схемы, а для неявной - старая добрая прогонка.

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 10 фев 2014, 16:36

Извиняюсь, что давно не появлялся - не было возможности.
Мне уже все объяснили. Я понял, что просто неправильно менял эти слои - я их менял одновременно как по координате, так и по времени, а надо было сначала вычислить все значения на одном слое по времени, меняя только координатный и т.д.
Из ваших объяснений я, конечно, мало что понял, но все равно спасибо)

yourdomain.com