Выражение целой части через другие функции

HatoL · Сообщение **HatoL** » 07 фев 2012, 02:17

Понятно, что функцию целой части числа невозможно представить в виде линейной комбинации или суперпозиции элементарных функций. А можно ли ее представить в каком-нибудь другом виде? Например в виде применения какого-то оператора (интегрального, дифференциального, бесконечная сумма, бесконечное произведение) к более менее "нормальной" функции?

fri739 · Сообщение **fri739** » 07 фев 2012, 04:05

Имеем $\lfloor x\rfloor=x-\{x\}$ , а для функции дробной части есть разложение в ряд Фурье, который сходится к ней самой, но только в нецелых точках. В целых точках, ряд будет сходиться к $\frac{1}{2}$ . Так что для нецелых $$x$$

величина $\lfloor x\rfloor$ выражается как $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}$ .

Взято из Википедии..

Ian · Сообщение **Ian** » 07 фев 2012, 11:00

Да сколько угодно еще. Например, "расстояние до ближайшего целого"= $\frac 1{2\pi}\arccos (\cos 2\pi x)$
А чтобы разрывные получать - с котангенсами поиграть. $\frac 12-\frac 1{\pi}\arctg (\ctg{\pi x})$ вроде
Только они в точках разрыва определены не будут никак, ну вот как ни подбирайте не выйдет. Потому что по графику там три разумных значения 0,1 и полусумма, а великая мать не может быть на чьей-то стороне

HatoL · Сообщение **HatoL** » 07 фев 2012, 21:24

Оо спасиб большое.

yourdomain.com