Единственность и сущестование решений СДУ

[Math]

Скажите пожалуйста, является ли тривиальным распространение теоремы о существовании и единственности решений СДУ доказанной для на ? В Булинском и Ширяеве написано что результат для отрезка справедлив и для бесконечного случая, но как это проверить?

[Ian]

Да, это тривиально.
Судите сами.
Начальные условия заданы в нуле, и есть теорема. что для всякого T>0 решение на [ 0,Т ] существует и единственно.
И есть нюанс,что при решения для и для совпадут на
Как же может не быть решения на или их быть два)

[Math]

Source of the post
Да, это тривиально.
Судите сами.
Начальные условия заданы в нуле, и есть теорема. что для всякого T>0 решение на [ 0,Т ] существует и единственно.
И есть нюанс,что при решения для и для совпадут на
Как же может не быть решения на или их быть два)

Спасибо большое за ответ. Вот за нюансы-то я и спросил. Вроде бы да, для любого конченого решение существует и единственно, но вот с переходом к пределу привык быть аккуратным. Например, берём утверждение, что непрерывная на функция ограничена на. Но вот переход к уже нарушит справедливость этого утверждения. Нет ли тут тоже какого-нибудь нюанса? Несмотря на тривиальность, как можно строго перейти к пределу в данной теореме?

[Ian]

Здесь даже не переход к пределу. Существование решения на бесконечном промежутке следует из существования + единственности решения на всяком [0,T].Надо определить значение вектор-функции, являющейся решением, в произвольной точке При любом задача на [0,T] дает одно и то же значение, вот его и возьмем. (А у тех ограниченных функций ограничивающие константы разные, потому и облом)
Единственность решения на бесконечном промежутке сразу следует из единственности решения на всяком [0,T]