Среднее значение, если математическое ожидание не существует

Vector · Сообщение **Vector** » 10 окт 2012, 20:23

Интересует следующий вопрос. Пусть $$x$$

- непрерывная случайная величина, для которой ни один из моментов не определен, в.т.ч. мат.ожидание. Всегда ли не существует в этом случае предел
$\lim \limits_{n \to \infty} {\frac {1} {n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}}$ ,

где $\{x_i\}$ - значения этой случайной величины?

zykov · Сообщение **zykov** » 12 окт 2012, 09:21

Vector писал(а):Source of the post
Интересует следующий вопрос. Пусть - непрерывная случайная величина, для которой ни один из моментов не определен, в.т.ч. мат.ожидание. Всегда ли не существует в этом случае предел
$\lim \limits_{n \to \infty} {\frac {1} {n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}}$ ,

где $\{x_i\}$ - значения этой случайной величины?

$\{x_i\}$ - это не значения этой случайной величины, а сами случайные величины.

Для n мы имеем случайный n-мерный вектор, где каждый его элемент имеет идентичное независимое распределение. Мат.ожидание суммы этих компонентов выражается интегралом, который сводится к сумме интегралов по компонентам. Следовательно для любого n это мат.ожидание тоже не определено.

Сумма компонентов - это тоже случайная величина. Для каждого n она будет иметь какое-то распределение. Так что сходится такая последователность распределений может к какому-то распределению (нужно задать, в каком смысле сходится) или вообще не сходится. Это предельное распределение может оказатся одним числом, если вся плотность вероятности концентритуется в области этого числа (по сути, если для любой малой окрестности и малой вероятности найдется n, такое, что для больших n вероятность выхода значения за пределы окрестности будет всегда меньше этой малой вероятности). Из того, что в Вашем случае для любого n нет мат.ожидания, следует что это не может быть одно число, т.к. распределение сосредоточенное в малой окрестности имело бы мат.ожидание.

Таланов

zykov писал(а):Source of the post
$\{x_i\}$ - это не значения этой случайной величины, а сами случайные величины.

Не понял. По-моему задана одна случайная величина, значения которой определяются из наблюдения.

Vector · Сообщение **Vector** » 12 окт 2012, 18:21

Таланов писал(а):Source of the post
zykov писал(а):Source of the post
$\{x_i\}$ - это не значения этой случайной величины, а сами случайные величины.

Не понял. По-моему задана одна случайная величина, значения которой определяются из наблюдения.

Случайная величина одна - x.

zykov · Сообщение **zykov** » 12 окт 2012, 23:47

Когда Вы записываете сумму, то имеете в этой сумме n случайных величин. В Вашем случае, как я понимаю, они будут независимыми и идентично распределенными.
Сама сумма - это функция от этих величин - тоже случайная величина, но с другим распределением и зависимая от исходных величин.

Таланов

zykov писал(а):Source of the post
Когда Вы записываете сумму, то имеете в этой сумме n случайных величин.

Нет, не так, неправильно. Суммируются значения одной случайной величины.

zykov · Сообщение **zykov** » 13 окт 2012, 22:47

Таланов писал(а):Source of the post
Нет, не так, неправильно. Суммируются значения одной случайной величины.

Как это не правильно, когда правильно.
Если у Вас есть только одна величина, то что вы тогда суммируете с чем?

Таланов

zykov писал(а):Source of the post
Если у Вас есть только одна величина, то что вы тогда суммируете с чем?

Значения, которые приняла это одна случайная величина.

zykov · Сообщение **zykov** » 14 окт 2012, 03:35

Таланов писал(а):Source of the post
Значения, которые приняла это одна случайная величина.

Одна величина имеет одно значение.

Здесь распределение одно, а величин несколько. Их значения вообще к делу отношения не имеют. Суммирование ведется случайных величин.

Таланов

zykov писал(а):Source of the post
Одна величина имеет одно значение.

Одна случайная величина может принимать множество значений в пределах определения её функции распределения.

zykov писал(а):Source of the post
Здесь распределение одно, а величин несколько. Их значения вообще к делу отношения не имеют. Суммирование ведется случайных величин.

После сказанных вами глупостей я вообще перестал что-либо понимать из ваших сообщений.

yourdomain.com