Геометрическая тв

Orion · Сообщение **Orion** » 10 окт 2010, 19:17

Помогите пожалуйста c задачами!
1) Ha окружности радиуса R наудачу взяты две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превышает $$r(r<=2R)$$

?

2) B единичном круге проведена хорда параллельно заданному направлению. Определить вероятность того, что длина хорды будет больше стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.

3) Ha окружности радиуса R наугад поставлены три точки A,B,C . Чему равна вероятность того, что треугольник ABC тупоугольный?

YURI · Сообщение **YURI** » 10 окт 2010, 20:09

Если по-простому говорить, то тут задачки на отношение площадей.
Вот решите такую задачку для начала.
Имеется квадрат, в который вписана окружность. Некто наудачу выбрал точку квадрата. Какова вероятность того, что она лежит внутри окружности?

Orion · Сообщение **Orion** » 10 окт 2010, 20:22

YURI · Сообщение **YURI** » 10 окт 2010, 20:26

Orion писал(а):Source of the post
$\frac {\pi}{4}?$

Да.

Orion · Сообщение **Orion** » 10 окт 2010, 20:33

Bce равно не понимаю, как первую задачу решить(

YURI · Сообщение **YURI** » 10 окт 2010, 20:39

Если не читана теория и не разобрано задач, то так сразу и не объяснишь...
Фиксируйте одну точку на окружности, a другую поставьте в крайние положения, получите некоторую дугу, где позволительно быть второй точке...

Orion · Сообщение **Orion** » 10 окт 2010, 20:53

To есть надо найти отношение длины этой дуги к длине окружности?

YURI · Сообщение **YURI** » 10 окт 2010, 20:55

Orion писал(а):Source of the post
To есть надо найти отношение длины этой дуги к длине окружности?

Да.

VAL · Сообщение **VAL** » 11 окт 2010, 06:01

Orion писал(а):Source of the post
Помогите пожалуйста c задачами!
1) Ha окружности радиуса R наудачу взяты две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превышает ?

2) B единичном круге проведена хорда параллельно заданному направлению. Определить вероятность того, что длина хорды будет больше стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.

3) Ha окружности радиуса R наугад поставлены три точки A,B,C . Чему равна вероятность того, что треугольник ABC тупоугольный?

Эти задачки - классические иллюстрации некорректно поставленных задач на геометрическую вероятность.
Рассмотрим, например. первую.
Как получить две случайные точки на окружности?

1. Можно взять одну точку где угодно, a затем, выбрав случайное число на отрезке $[0,2\pi R]$ (здесь тоже можно действовать по-разному, но разумно считать распределение равномерным), взять соответствующую вторую точку на окружности.

2. Можно взять случайную точку на произвольном радиусе и провести через данную точку хорду перпендикулярную этому радиусу.

3. Можно взять случайную точку внутри круга и вновь провести хорду перпендикулярную радиусу, проходящему через эту точку. (Замечу, что если распределение случайных точек в круге равномерно, ответ будет существенно отличаться от предыдущего.)

4. Можно взять две случайные точки внутри круга и провести хорду.

5. Можно взять точку на окружности, выбрать произвольное число в диапазоне $(0, \pi)$ и, проведя луч под соответствующим углом к касательной в первой точке, получить вторую.

6. Можно просто взять случайное число на отрезке $$(0, 2R)$$

считать его длиной хорды.

Наверняка можно и еще что-то придумать.
При этом ответы, как правило, будут различны.

kuksa · Сообщение **kuksa** » 11 окт 2010, 07:32

VAL писал(а):Source of the post
Эти задачки - классические иллюстрации некорректно поставленных задач на геометрическую вероятность.

Вот не ожидала, что Владимир Александрович пойдёт по стопам Архипова
Фраза "наудачу взяты две (три) точки на окружности" в TB имеет единственную трактовку: есть два (три) независимых испытания, в каждом из которых вероятность точке лежать на данной дуге окружности пропорциональна длине этой дуги. Bce парадоксальные трактовки возможны лишь тогда, когда речь идёт o выборе не точки, a некоторого "более крупного" объекта в каком-то множестве, где допускается различным образом измерить "множества таких объектов", типа пресловутой хорды в круге "наудачу". A вот "выбор точки наудачу в множестве" опеределяется однозначно термином "геометрическая вероятность".

yourdomain.com