теория вероятности

freeman · Сообщение **freeman** » 02 май 2010, 13:18

Помогите пожалуйста c решением задачи

Условие
Через середину одной из сторон единичного квадрата проводят прямую, чей угол c этой стороной квадрата выбирают наугад. Найти вероятность того, что прямая делит квадрат на треугольник и пятиугольник, причем площадь треугольника меньше $$a$$

. Где $0<a<\frac{1}{4}$

Решение
Проведем прямую так, чтобы это отношение их площадей равнялось a, пусть при этом угол co стороной квадрата равняется f.
Так как все углы равновероятны, искомая вероятность равна доле углов, меньших f.
Так как треугольник можно отрезать c двух сторон, вероятность:
$P=\frac{2f}{\pi}$
При этом площадь треугольника $a=\frac{1}{4}$
Длина гипотенузы равна $b=\frac{sqrt5}{2}$
Вычисляем, при этом угол f co стороной квадрата.
$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}*1*sin f$
$sin f = \frac{1}{2}*2,236=0,2236=13$ градусов

Мне кажется, что я мудрю c решением, и ответ чувствую будет не из самых красивых.
Найдите ошибку в рассуждениях

kuksa · Сообщение **kuksa** » 02 май 2010, 13:43

freeman писал(а):Source of the post
При этом площадь треугольника $a=\frac{1}{4}$

Найдите ошибку в рассуждениях

Вот она. Вам нужно найти вероятность как функцию от $$a$$

. Параметр $$a$$

- это не

, a переменная величина, от которой зависит ответ. Кроме того, используйте не синус, a тангенс - через него второй катет и площадь треугольника выражается проще.

freeman · Сообщение **freeman** » 02 май 2010, 14:02

kuksa писал(а):Source of the post
Вот она. Вам нужно найти вероятность как функцию от . Параметр - это не , a переменная величина, от которой зависит ответ. Кроме того, используйте не синус, a тангенс - через него второй катет и площадь треугольника выражается проще.

можно подробнее?

Самоед

freeman писал(а):Source of the post

Условие
Через середину одной из сторон единичного квадрата проводят прямую, чей угол c этой стороной квадрата выбирают наугад. Найти вероятность того, что прямая делит квадрат на треугольник и пятиугольник, причем площадь треугольника меньше . Где $0<a<\frac{1}{4}$

Решение
Проведим прямую так, чтобы это отношение их площадей равнялось a, пусть при этом угол co стороной квадрата равняется f.
Так как все углы равновероятны, искомая вероятность равна доле углов, меньших f.

Мне кажется, что я мудрю c решением, и ответ чувствую будет не из самых красивых.
Найдите ошибку в рассуждениях

Вероятность будет приблизительно 126*2/360, то есть отношение двух углов по 126 к 360. Площади не нужно вычислять.Пятиугольники пропадают либо появляются тогда, когда пямая пересекает вершины квадрата, противолежащие точке вращения прямой.

freeman · Сообщение **freeman** » 02 май 2010, 15:33

Самоед писал(а):Source of the post
Вероятность будет приблизительно 126*2/360, то есть отношение двух углов по 126 к 360. Площади не нужно вычислять.Пятиугольники пропадают либо появляются тогда, когда пямая пересекает вершины квадрата, противолежащие точке вращения прямой.

Откуда такой угол?

kuksa · Сообщение **kuksa** » 02 май 2010, 16:47

freeman писал(а):Source of the post
kuksa писал(а):Source of the post
Вот она. Вам нужно найти вероятность как функцию от . Параметр - это не , a переменная величина, от которой зависит ответ. Кроме того, используйте не синус, a тангенс - через него второй катет и площадь треугольника выражается проще.

можно подробнее?

Что именно в моём ответе непонятно? He следует брать 1/4 вместо $$a$$

. Ваша искомая вероятность - функция от переменной $$a$$

, принимающей любые значения $$0 < a < 1/4$$

.

He нужно реагировать на Самоеда, уж поверьте.

freeman · Сообщение **freeman** » 02 май 2010, 16:58

kuksa писал(а):Source of the post
Что именно в моём ответе непонятно? He следует брать 1/4 вместо . Ваша искомая вероятность - функция от переменной , принимающей любые значения .

Собственно почти все непонятно. Как мне найти вероятность этой функции? Получается я неправильно решал задачу

Площадь прямоугольного треугольника:
$S = \frac{b^2*tg(\alpha)}{2}$ ,
где $\alpha$ - угол треугольника, прилежащий к стороне квадрата $$(b)$$

, которую делят пополам;
$$b$$

- сторона квадрата, которую делят пополам

C помощью этой формулы находим интервал, в котором расположен угол:
$0<S<\frac{1}{4}$
Подставляем:
$0<\frac{\frac{1}{4}*tg(\alpha)}{2}<\frac{1}{4}$
$0<tg(\alpha)<2$
$0^\circ <\alpha<64^\circ$

Правильно?
Что дальше?

Evilution · Сообщение **Evilution** » 02 май 2010, 18:19

Я конечно не в ряд c вами, крутыми математиками

Попытался решить так:

Раз все зависит от изменения одной стороны y (так как мы провели прямую через сторону x), то сторона y может меняться от 0 до 1, чтобы удовлетворять заданному условию (a=1/4):

$\int_{0}^{1}{arctg2ydy}=\frac {1} {2}*\int_{0}^{1}{arctg2yd2y}=0,7$

C ответом "по прикидке", который Самоед уже опубликовал, сходится.

freeman · Сообщение **freeman** » 02 май 2010, 19:07

Evilution писал(а):Source of the post
Я конечно не в ряд c вами, крутыми математиками

Попытался решить так:

Раз все зависит от изменения одной стороны y (так как мы провели прямую через сторону x), то сторона y может меняться от 0 до 1, что бы удовлетворять заданному условию (a=1/4):

$\int_{0}^{1}{arctg2ydy}=\frac {1} {2}*\int_{0}^{1}{arctg2yd2y}=0,7$

C ответом "по прикидке", который Самоед уже опубликовал, сходится.

Как вы получили такой ответ?
Табличное значение:
$\int{arctgxdx}=x*arctgx-\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C$
И почему вы берете функцию $$arctgx$$

?

Evilution · Сообщение **Evilution** » 02 май 2010, 19:12

Ну так, по формуле Ньютона-Лейбница и получил.

yourdomain.com