Четыре случайно брошенные на сферу точки попадут в полусферу

[w.wrobel]

Source of the post Критерий попадания четырех точек в одну полусферу геометрически прост - тетраэдр, построенный на этих точках, не содержит начало координат. Надо это выразить формулкой. Я пытаюсь найти хорошую симметричное неравенство для этого критерия, исписал три листа бумаги и что-то заковырялся.

формулы к Вашему предложению про тетраэдр в pdf-файле выше по ветке. Выпуклая оболочка $$ это и есть Ваш тетраэдр.

[zykov]

Source of the post количество 1 в непрерывном объёме, по которому Вы собираетесь интегрировать- бесконечно

Бессмыслица какая-то...

[buratino.2016]

[quote name='zykov' date='17.01.2016, 15:42' post='482496']

 

Source of the post

количество 1 в непрерывном объёме, по которому Вы собираетесь интегрировать- бесконечноБессмыслица какая-то...[/quote]/div
Я об этом: Здесь равен 1, если центр сферы лежит внутри тетраэдра из точек o0, o1, o2, o3, и равен 0 в противном случае. (o0 - любая фиксированная точка на сфере.) [/quote]/div Точки, определяющие тетраэдр и удовлетворяющие 1 можно выбрать бесконечным числом способов.

[zykov]

Source of the post Точки, определяющие тетраэдр и удовлетворяющие 1 можно выбрать бесконечным числом способов.

И что с того? Вы знаете, что такое интеграл?
 
Вот возмём случайную величину равномерно распределенную на отрезке от 0 до 1. И возмём функцию, которая на этом отрезке везде равна нулю, кроме отрезка от 0.3 до 0.4.
Среднее значение этой функии от этой переменной (оно же равно вероятности попадания переменной в область, где функция равна 1) равно интегралу этой функции от 0 до 1, что равно значению 0.1.
 
У Вас на сфере точно такая же ситуация.

[buratino.2016]

Функция, которую предложили Вы, имеет значение 1 для любого тетраэдра не содержащего центр сферы. Таких тетраэдров бесконечно много. Меняем координаты вершин тетраэдра на бесконечно малую величину, получаем новый тетраэдр, для которого значение функции 1, производим эту операцию бесконечное число раз на непрерывной области и сммируем всё бесконечное множество  единиц. Вы же не задали эту функцию аналитически, чтобы взять от нее первообразную, а задали ее как бесконечное множество 1.
 

[12d3]

Господа, задачка уже давно решена.
http://www.mathpages.com/home/kmath327/kmath327.htm
 
 

 

[12d3]

Идея там красивая, работает для любой размерности и любого количества точек. Выбор точек делаем в два этапа. Первый - выбираем 4 прямых, проходящих через центр сферы (направления распределены равномерно), а потом для каждой прямой выбираем одну из двух точек пересечения прямой со сферой. Оказывается, вероятность того, что на втором этапе точки попадут в одну полусферу не зависит от прямых, выбранных на первом этапе. Так что никаких интегрирований вообще.

[zykov]

Source of the post Господа, задачка уже давно решена. http://www.mathpages.com/home/kmath327/kmath327.htm

Там либо у них ошибка, либо они другую задачу решают. Их ответ () не совпадает с результатом Монте-Карло...

[12d3]

Source of the post Их ответ (1/2^{n-1})

Этот их ответ действительно на другую задачу. Для нужной нам задачи там табличка есть.

[штирлиц]

Рассмотрим первые три точки. Через каждых две из них можно провести на сфере одну окружность с радиусом сферы. Получаем на сфере три окружности с радиусом сферы, которые делят сферу на сегменты. Среди них будет один треугольный сегмент с заданными точками в углах. На обратной стороне сферы будет точно такой же, но только зеркальный. Площади их будут одинаковыми.
Вероятность того, что четвертая точка будет не в одной полусфере с тремя предыдущими будет равно вероятности, что она окажется в заднем сегменте. Или это будет соотношение площади сегмента к площади всей сферы.
По моему это будет 1 к 8. Значит вероятность, что они окажутся в оной полусфере 7 к 8.